ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

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522: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/10/31(木) 14:56:28.15 ID:ZGzgFBbd

>>518
>Poisson核(Dirichletが命名)

ふむふむ
これは、御大か
Poisson核とフーリエ解析ね（下記）
ご指導ありがとうございます。
あのアホとは、大違いｗ ；ｐ）

(参考)
www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kida/notes/fourier.pdf
フーリエ変換と超関数 木田良才 20200228
P15
1.5. アーベル総和法
関数Pr をT上のポアソン核という. フェイエール核の場合と同様に,次の性質がポアソン核に対して示される

sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/fourier/fourier.pdf
フーリエ解析入門 山上滋 H170331
P16
Proof.ポアソン核を使った一様近似定理
P51
N が大きい場合、計算機の性能を簡単に越えてしまうことが起こり得る。これを回避する工夫として、Nが素数の冪で表される場合に限定されるものの、この計算のステップ数を大幅に減らす方法が、CooleyとTukeyによる高速フーリエ変換(FastFourier Transform) である。その原理は、いたって単純で次のようなものである（アルゴリズムそのものは、ガウスにまでさかのぼれるものであるらしい）

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3%E6%A0%B8
ポアソン核
数学のポテンシャル論におけるポアソン核（ポアソンかく、英: Poisson kernel）とは、単位円板上のディリクレ境界条件を伴う二次元ラプラス方程式を解く際に用いられるある積分核のことを言う。ラプラス方程式に対するグリーン函数の微分として解釈することが出来る。シメオン・ドニ・ポアソンの名にちなむ

二次元ポアソン核
単位円板上のポアソン核

複素平面において、単位円板に対するポアソン核は次で与えられる。

Pr(θ)=Σ n=−∞〜∞ r^|n| * e^inθ=(1−r^2)/(1−2rcos⁡θ+r^2)=Re{⁡(1+re^iθ)/(1−re^iθ)},   0≤r<1.
これには二つの解釈が存在する。
一つは r と θ の函数という解釈、
もう一つは r によって添え字付けられた θ の函数の族という解釈である。

u の境界での値が f であるということは、r → 1 につれて函数 Pr(θ) が畳み込み多元環 Lp(T) 内の近似的単位元（英語版）を形成するという事実より示される。線型作用素と同様に、それらは Lp(T) 上でディラックのデルタ函数に各点収束する。最大値原理より、u はそのような D 上の調和函数として唯一つのものである。

この近似的単位元との畳み込みは、L1(T) 内の函数のフーリエ級数に対する総和可能核（英語版）の例を与える(Katznelson 1976)。f ∈ L1(T) はフーリエ級数 {fk} を持つとする。フーリエ変換ののち、Pr(θ) との畳み込みは列 {r|k|} ∈ l1(Z) との乗算になる。その結果得られる積 {r|k|fk} に逆フーリエ変換を施すことで、次のような f のアーベル平均
Ar fが得られる：
Ar f(e^2πix)=Σk∈Z fk *r^|k| *e^2πikx.
この絶対収束級数を再び整理することで、f は D 上のある正則函数 g と反正則函数 h の和 g + h の境界値であることが示される。

調和函数が正則であるためには、解はハーディ空間の元であることとなる。これは f の負のフーリエ係数がすべて消失する場合に真となる。特に、ポアソン核は単位円板上のハーディ空間と単位円の同値性を論証する上で一般に用いられる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/522

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