ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 (1002ﾚｽ)
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512: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/10/31(木) 10:06:38.05 ID:ZGzgFBbd

>>510 補足
おサルさん(>>9)のために
ご参考 下記

要するに、4つの用語：フーリエ変換、フーリエ級数、m 次のフーリエ多項式 (Fourier polynomial) 、離散フーリエ変換があって
フーリエ多項式の m を +∞ にした極限が フーリエ級数
フーリエ級数でのΣを積分 ∫ つまりは、連続変数による変換が フーリエ変換、離散フーリエ変換はフーリエ変換の離散版

・フーリエ変換と離散フーリエ変換とは、きちんと使い分けないといけないぞｗ ；ｐ）
・離散フーリエ変換は、下記の東北大学 鏡 慎吾にあるように
　その主旨は、フーリエ変換をコンピュータのデジタル処理をするためのツール（下記のMathWorks MATLAB ご参照）
・コンピュータのデジタル処理には、積分のままではまずい。数値積分も可能だが、もっと賢い方法がある
　それが、離散フーリエ変換だってことよ。これが キモですよｗ ；ｐ）

(参考)
www.ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/yaruodsp/main.html
やる夫で学ぶディジタル信号処理
東北大学 大学院情報科学研究科 鏡 慎吾
www.ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/yaruodsp/dft.html
やる夫で学ぶディジタル信号処理

6. 離散フーリエ変換
やらない夫
これまで，フーリエ級数から始めて，フーリエ変換に進み，そして前回は離散時間フーリエ変換を学んだわけだ

やらない夫
とりあえず式 (5.3) の離散時間フーリエ変換の方はよしとしようか．ある角周波数ωを固定して右辺を計算すれば，その周波数の成分が計算できる．もちろん無限和は計算できないけど，現実世界に存在するの信号は有限の長さだからな．有限個の総和で計算できる．問題は式 (5.8) の逆変換だ

やらない夫
時間は離散化されたけど，周波数は連続のままだからな．積分は計算機では厳密には計算できない

やる夫
じゃあ，周波数も離散化すればいいんだお!

やらない夫
おお，空気読めるじゃないか．今回はその話だ

6.2 周波数領域を離散化する
つづく
略

jp.mathworks.com/help/signal/ug/discrete-fourier-transform.html
The MathWorks, Inc.
このページの内容は最新ではありません。最新版の英語を参照するには、ここをクリックします
離散フーリエ変換
離散フーリエ変換 (DFT) は、デジタル信号処理の基本となるツールです
製品の基礎をなしているのは高速フーリエ変換 (FFT) で、短い実行時間で DFT を計算します
多くのツールボックス関数 (Z 領域周波数応答、スペクトル解析とケプストラム解析、および一部のフィルター設計関数やフィルター実装関数を含む) には、FFT が組み込まれています
MATLAB® 環境には、関数 fft と ifft があり、それぞれ離散フーリエ変換と逆離散フーリエ変換の計算に使用できます。
入力シーケンス x とこのシーケンスから変換した X (単位円周上における等間隔の周波数での離散時間フーリエ変換) に対し、この 2 つの関数によって次の関係が実装されます

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/512

513: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/10/31(木) 10:16:34.37 ID:ZGzgFBbd

>>512
>製品の基礎をなしているのは高速フーリエ変換 (FFT) で、短い実行時間で DFT を計算します

このスレは、御大の巡回ルートに入っているので
FFTの歴史 ：1805年頃に既にガウスが同様のアルゴリズムを独自に発見していた[9]
を引用しておきますね
（まあ、常識ではありますが ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E9%80%9F%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B
高速フーリエ変換（英: fast Fourier transform, FFT）は、離散フーリエ変換（英: discrete Fourier transform, DFT）を計算機上で高速に計算するアルゴリズムである。高速フーリエ変換の逆変換を逆高速フーリエ変換（英: inverse fast Fourier transform, IFFT）と呼ぶ。
概要
複素関数 f(x) の離散フーリエ変換である複素関数 F(t) は以下で定義される。
略す
このとき、{x = 0, 1, 2, ..., N − 1} を標本点と言う。
これを直接計算したときの時間計算量は、ランダウの記号を用いて表現すると O(N2) である。
高速フーリエ変換は、この結果を、次数Nが2の累乗のときに O(N log N) の計算量で得るアルゴリズムである。
次数が 2 の累乗のときが最も高速に計算でき、アルゴリズムも単純になるので、0 詰めで次数を調整することもある。

歴史
高速フーリエ変換といえば一般的には1965年、ジェイムズ・クーリー（英語版） (J. W. Cooley) とジョン・テューキー (J. W. Tukey) が発見した[1] とされているクーリー–テューキー型FFTアルゴリズム（英語版）を呼ぶ[7]。同時期に高橋秀俊がクーリーとテューキーとは全く独立にフーリエ変換を高速で行うためのアルゴリズムを考案していた[8]。しかし、1805年頃に既にガウスが同様のアルゴリズムを独自に発見していた[9]（本ページの外部リンク先に同じ文章PDFへのリンクがある）。ガウスの論文以降、地球物理学や気候や潮位解析などの分野などで測定値に対する調和解析は行われていたので、計算上の工夫を必要とする応用分野で受け継がれていたようである（たとえば、Robart L. Nowack:
略
以下の書籍にも、天体観測の軌道の補間のためにガウスが高速フーリエ変換を利用したことが書かれている。
略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/513

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