ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 (1002ﾚｽ)
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429: １３２人目の素数さん [] 2024/09/22(日) 18:32:16.30 ID:oAEXID8O

>>425
>今どきの高校生で円周率の計算方法を知る奴がどれほどいるかね

ふっふ、ほっほ
いまから、19年前のことでしたｗ ；ｐ）

(参考)
web.quizknock.com/pi-305
quizknock
【東大入試解説】「円周率が3.05よりも大きいことを証明せよ」2003年の東京大学
「3.05より」はそれなりに大変

www.tomonokai.net/daiju/mathproblems/ut1/
東京大学入試の数学の過去の良問を徹底解説。本番に使える解き方も伝授します。
東大家庭教師友の会

画像の問題は2003年の東京大学の入学試験で出題された、入試の歴史に残る伝説の問題です。この記事では「この問題のいったい何が凄かったのか」「いったい本番でどうやって解けばいいのか」「別解はないのか」という点を深掘りしていきます。そして、東京大学の出題の特徴や、東大入試突破のコツまで紹介していこうと思います。

なぜこの問題は良問なのか？
　この問題はよく「ゆとり教育の一環で円周率を3にしようとする文科省への東京大学による反逆である」といわれます。しかし、初めに言っておくとこれはウソです。実際にはゆとり教育の下でも小学校の教科書では円周率を3.14として教えていました。

人々が「ゆとり教育では円周率が3」という誤解をし、これがなかなか解けなかった要因は大手学習塾による大々的なキャンペーン、およびマスメディアの過剰な報道にあるとされています。当時はネットの普及もそこまで進んでおらず、今よりも正しい情報を得るのが大変な時代ではあったとはいえ、学習指導要領をよく読めば「小学校では円周率は3.14として教えよ。ただし、必要があれば3にする配慮をせよ」という文科省の当初の意図が分かるはずなのです。

話を戻して、今度は円周率そのものについて考えていきましょう。もちろん円周率は3ではありません。ただし、3.14でもありません。一応こういった数字を使わずに円周率を説明すればギリシア文字を使って「円周率はπ(パイ)である」と言えるでしょう。しかし、「円周率は3.14！」という人を批判する人のうち、どれだけの人が円周率の定義を正しく言えるのでしょうか？

東京大学の数学の入試問題はこうした本当に基本的な部分を正しく理解しているかどうかが肝なのです。さて、問題は無事解けましたでしょうか？解けたという人も、考えてみてはいるけどまるで見当がつかないという人も一旦、下の解説をご覧ください。まずは、解答に至る切り口から説明していきます。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/429

439: １３２人目の素数さん [] 2024/09/23(月) 08:52:53.66 ID:w/QxknnI

>>437
これは、御大か
朝早く、巡回ご苦労さまです

>>438
>東大の入試問題は当時の高校生が円周率の実効的な定義を知らないことの証
>しかもその状況は今も変わらない
>いまだに教科書では円周率の実効的な定義も計算方法も示さないから

・そこ、円の内接多角形と外接多角形を使う アルキメデスの方法（下記）
　内接多角形の周長＜ 円の周長 ＜外接多角形の周長
　を仮定して、円の周長を求める方法だよね
・”「円周率が3.05よりも大きいことを証明せよ」2003年の東京大学”は（>>429）
　おそらくは、”内接多角形の周長＜ 円の周長”を使う解法が多いと思う
・しかし、”内接多角形の周長＜ 円の周長”の厳密な証明が欠けている
　その点を指摘したのが、「Weierstrass流の円周率の定義を聞いて
　目を覚ます者たちもいるだろう」>>414 ということか
・余談だが、昔小学校では、正6角形の内接・外接を使って、円周率が3より大きいことの説明があった
　なので、”正6角形よりも近似を上げるべし”だけは、すぐ思いつくのです（ゆとり世代は知らず）

>cos3° sin3°を平方根で表せ

それ、360°に対して、120倍 つまり 正120角形の作図が可能か？ （下記「高校数学の美しい物語」）
だね。120＝2^3 * 3 * 5 と因数分解できて、3 と 5 が、フェルマー素数だね

(参考)
a.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2
円周率の歴史
年表
紀元前2000年頃
[値] (2) 1936年にスーサで発見された粘土板などから、古代バビロニアでは、正六角形の周と円周を比べ、円周率の近似値として 3 や 3+1/7 = 22/7 = 3.142857…, 3+1/8 = 3.125 などが使われたと考えられている[1]。

紀元前3世紀
[法][値] アルキメデスは、円の面積が円周率と半径の平方の積に等しいことを証明した[6]。
さらに、3の平方根の最良近似分数
265/153 および 1351/780 (265/153 < √3 < 1351/780) を利用して、円に外接および内接する正六角形、正十二角形、正二十四角形、正四十八角形、正九十六角形の辺の長さの上界および下界をそれぞれ計算することにより
3 + 10/71 < π < 3 + 1/7
を求めた[7]。小数だと 3.14084 < π < 3.14286 である[8]。

manabitimes.jp/math/1302
高校数学の美しい物語
正多角形の作図可能性の条件  2021/03/07
定理1
正 n 角形が定規とコンパスで作図可能 ⟺n=2^N p1 ⋯pk となる 0 以上の整数 N と互いに異なるフェルマー素数 p1,⋯,pk  が存在する。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/439

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