ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 (1002ﾚｽ)
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421: １３２人目の素数さん [] 2024/09/22(日) 14:52:09.55 ID:oAEXID8O

>>414
>そういう怠惰な学生の中には
>Weierstrass流の円周率の定義を聞いて
>目を覚ます者たちもいるだろう

ご苦労さまです
en.wikipedia に詳しい解説がありますね
（やはり、数学の情報は、英語が圧倒的に豊富ですね）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Pi
The number π (/paɪ/; spelled out as "pi") is a mathematical constant that is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately equal to 3.14159.

Definition
π is commonly defined as the ratio of a circle's circumference C to its diameter d:[10]
π=C/d
The ratio C/d is constant, regardless of the circle's size. For example, if a circle has twice the diameter of another circle, it will also have twice the circumference, preserving the ratio C/d.
This definition of π implicitly makes use of flat (Euclidean) geometry; although the notion of a circle can be extended to any curve (non-Euclidean) geometry, these new circles will no longer satisfy the formula
π=C/d.[10]

Here, the circumference of a circle is the arc length around the perimeter of the circle, a quantity which can be formally defined independently of geometry using limits—a concept in calculus.[11] For example, one may directly compute the arc length of the top half of the unit circle, given in Cartesian coordinates by the equation x^2+y^2=1, as the integral:[12]
π=∫−1〜1 dx/√(1−x^2).
An integral such as this was proposed as a definition of π by Karl Weierstrass, who defined it directly as an integral in 1841.[b]

Integration is no longer commonly used in a first analytical definition because, as Remmert 2012 explains, differential calculus typically precedes integral calculus in the university curriculum, so it is desirable to have a definition of π that does not rely on the latter. One such definition, due to Richard Baltzer[14] and popularized by Edmund Landau,[15] is the following: π is twice the smallest positive number at which the cosine function equals 0.[10][12][16] π is also the smallest positive number at which the sine function equals zero, and the difference between consecutive zeroes of the sine function. The cosine and sine can be defined independently of geometry as a power series,[17] or as the solution of a differential equation.[16]
In a similar spirit, π can be defined using properties of the complex exponential, exp z, of a complex variable z. Like the cosine, the complex exponential can be defined in one of several ways.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/421

439: １３２人目の素数さん [] 2024/09/23(月) 08:52:53.66 ID:w/QxknnI

>>437
これは、御大か
朝早く、巡回ご苦労さまです

>>438
>東大の入試問題は当時の高校生が円周率の実効的な定義を知らないことの証
>しかもその状況は今も変わらない
>いまだに教科書では円周率の実効的な定義も計算方法も示さないから

・そこ、円の内接多角形と外接多角形を使う アルキメデスの方法（下記）
　内接多角形の周長＜ 円の周長 ＜外接多角形の周長
　を仮定して、円の周長を求める方法だよね
・”「円周率が3.05よりも大きいことを証明せよ」2003年の東京大学”は（>>429）
　おそらくは、”内接多角形の周長＜ 円の周長”を使う解法が多いと思う
・しかし、”内接多角形の周長＜ 円の周長”の厳密な証明が欠けている
　その点を指摘したのが、「Weierstrass流の円周率の定義を聞いて
　目を覚ます者たちもいるだろう」>>414 ということか
・余談だが、昔小学校では、正6角形の内接・外接を使って、円周率が3より大きいことの説明があった
　なので、”正6角形よりも近似を上げるべし”だけは、すぐ思いつくのです（ゆとり世代は知らず）

>cos3° sin3°を平方根で表せ

それ、360°に対して、120倍 つまり 正120角形の作図が可能か？ （下記「高校数学の美しい物語」）
だね。120＝2^3 * 3 * 5 と因数分解できて、3 と 5 が、フェルマー素数だね

(参考)
a.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2
円周率の歴史
年表
紀元前2000年頃
[値] (2) 1936年にスーサで発見された粘土板などから、古代バビロニアでは、正六角形の周と円周を比べ、円周率の近似値として 3 や 3+1/7 = 22/7 = 3.142857…, 3+1/8 = 3.125 などが使われたと考えられている[1]。

紀元前3世紀
[法][値] アルキメデスは、円の面積が円周率と半径の平方の積に等しいことを証明した[6]。
さらに、3の平方根の最良近似分数
265/153 および 1351/780 (265/153 < √3 < 1351/780) を利用して、円に外接および内接する正六角形、正十二角形、正二十四角形、正四十八角形、正九十六角形の辺の長さの上界および下界をそれぞれ計算することにより
3 + 10/71 < π < 3 + 1/7
を求めた[7]。小数だと 3.14084 < π < 3.14286 である[8]。

manabitimes.jp/math/1302
高校数学の美しい物語
正多角形の作図可能性の条件  2021/03/07
定理1
正 n 角形が定規とコンパスで作図可能 ⟺n=2^N p1 ⋯pk となる 0 以上の整数 N と互いに異なるフェルマー素数 p1,⋯,pk  が存在する。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/439

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