ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

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595: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/05(火) 16:40:59.92 ID:y23kDSbO

>>583-585
ID:GMLTvSIM>>585
は、御大か
チャチャ入れ 蹴り入れ ご苦労様ですｗ ；ｐ）

さすがのご指摘です
おサルさん、グダグダやね

ガロア群の前に、下記の佐々木隆二 p13
「z^n=1を満たす複素数zを1のn乗根という.1のn乗根全体は,積に関して位数nのアーベル群をなす」（ja.wikipediaにも同様の記述あるよｗ）
ここを押さえようね

そうして、en.wikipedia に”discrete Fourier transform”の記述があるでしょ？
これ、1のn乗根の話だよ
おサルさん、あなた グダグダやね ；ｐ）

(参考)
www2.math.cst.nihon-u.ac.jp/sasaki/
佐々木隆二　SASAKI Ryuji
Manuscript
www2.math.cst.nihon-u.ac.jp/sasaki/wp/wp-content/uploads/2014/12/fa75a316529d0ac746d8f50958ba66ed.pdf
代数学の基礎 佐々木隆二 日本大学理工学部数学科 2015/04/01

P13
例1.3.3 z^n=1を満たす複素数zを1のn乗根という.1のn乗根全体は,積に関して位数nのアーベル群をなす.この群μnをと表す：
μn={cos(2kπ/n)+√-1 sin(2kπ/n)｜0≦k≦n-1}

ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9
1の冪根
1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。全ての自然数 n に対する 1 の原始n乗根を総称し、1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。
1の原始冪根
複素数の範囲では、1 の原始n乗根は n ≥ 3 のとき2つ以上存在する。
性質
1 の冪根は全て、複素数平面における単位円周上にある。また概要で述べたことより、1 の n乗根の全体は、位数 n の巡回群である。これは円周群の正規部分群である。

en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity
Root of unity
Periodicity
This means that any n-periodic sequence of complex numbers
… , x−1 , x0 , x1, …
can be expressed as a linear combination of powers of a primitive nth root of unity:
xj=?kXk・zk・j=X1z1・j+⋯+Xn・zn・j
for some complex numbers X1, … , Xn and every integer j.
This is a form of Fourier analysis. If j is a (discrete) time variable, then k is a frequency and Xk is a complex amplitude.
Choosing for the primitive nth root of unity
z=e2πin=cos⁡2πn+isin⁡2πn
allows xj to be expressed as a linear combination of cos and sin:
xj=?kAkcos⁡2πjkn+?kBksin⁡2πjkn.
This is a discrete Fourier transform.

Orthogonality
The straightforward application of U or its inverse to a given vector requires O(n2) operations. The fast Fourier transform algorithms reduces the number of operations further to O(n log n).

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/595

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