ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞あぼーん

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

439: １３２人目の素数さん [] 2024/09/23(月) 08:52:53.66 ID:w/QxknnI

>>437
これは、御大か
朝早く、巡回ご苦労さまです

>>438
>東大の入試問題は当時の高校生が円周率の実効的な定義を知らないことの証
>しかもその状況は今も変わらない
>いまだに教科書では円周率の実効的な定義も計算方法も示さないから

・そこ、円の内接多角形と外接多角形を使う アルキメデスの方法（下記）
　内接多角形の周長＜ 円の周長 ＜外接多角形の周長
　を仮定して、円の周長を求める方法だよね
・”「円周率が3.05よりも大きいことを証明せよ」2003年の東京大学”は（>>429）
　おそらくは、”内接多角形の周長＜ 円の周長”を使う解法が多いと思う
・しかし、”内接多角形の周長＜ 円の周長”の厳密な証明が欠けている
　その点を指摘したのが、「Weierstrass流の円周率の定義を聞いて
　目を覚ます者たちもいるだろう」>>414 ということか
・余談だが、昔小学校では、正6角形の内接・外接を使って、円周率が3より大きいことの説明があった
　なので、”正6角形よりも近似を上げるべし”だけは、すぐ思いつくのです（ゆとり世代は知らず）

>cos3° sin3°を平方根で表せ

それ、360°に対して、120倍 つまり 正120角形の作図が可能か？ （下記「高校数学の美しい物語」）
だね。120＝2^3 * 3 * 5 と因数分解できて、3 と 5 が、フェルマー素数だね

(参考)
a.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2
円周率の歴史
年表
紀元前2000年頃
[値] (2) 1936年にスーサで発見された粘土板などから、古代バビロニアでは、正六角形の周と円周を比べ、円周率の近似値として 3 や 3+1/7 = 22/7 = 3.142857…, 3+1/8 = 3.125 などが使われたと考えられている[1]。

紀元前3世紀
[法][値] アルキメデスは、円の面積が円周率と半径の平方の積に等しいことを証明した[6]。
さらに、3の平方根の最良近似分数
265/153 および 1351/780 (265/153 < √3 < 1351/780) を利用して、円に外接および内接する正六角形、正十二角形、正二十四角形、正四十八角形、正九十六角形の辺の長さの上界および下界をそれぞれ計算することにより
3 + 10/71 < π < 3 + 1/7
を求めた[7]。小数だと 3.14084 < π < 3.14286 である[8]。

manabitimes.jp/math/1302
高校数学の美しい物語
正多角形の作図可能性の条件  2021/03/07
定理1
正 n 角形が定規とコンパスで作図可能 ⟺n=2^N p1 ⋯pk となる 0 以上の整数 N と互いに異なるフェルマー素数 p1,⋯,pk  が存在する。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/439

447: １３２人目の素数さん [] 2024/09/23(月) 11:00:15.24 ID:w/QxknnI

>>443 追加

ja.wikipedia 加法定理から、en.wikipediaへ飛ぶと
”e^(x + y) = e^x ・ e^y”で、説明していますね （＾＾；

なお KIT数学ナビゲーション 金沢工大
「実際には， e^(z1+z2)=e^z1^・e^z2
が成り立つことを証明するのに加法定理を使っているので加法定理の証明にはならない」
とありますが、指数関数e^xを 複素数へ拡張してe^zを別に（加法定理を使わないで）証明＊）すれば
その証明は、ありです（注＊）例えば、べき級数展開を使う証明）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95%E5%AE%9A%E7%90%86
加法定理
　↓
en.wikipedia.org/wiki/Addition_theorem
Addition theorem
In mathematics, an addition theorem is a formula such as that for the exponential function:
e^(x + y) = e^x ・ e^y,
that expresses, for a particular function f, f(x + y) in terms of f(x) and f(y).
Slightly more generally, as is the case with the trigonometric functions sin and cos, several functions may be involved;
this is more apparent than real, in that case, since there cos is an algebraic function of sin
(in other words, we usually take their functions both as defined on the unit circle).

w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/kahouteiri-2.html&pcview=0
KIT数学ナビゲーション 金沢工大
加法定理の証明
■証明
一般的な証明を紹介する．（ベクトルを用いた証明，オイラーの公式を用いた導出もある．）

w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/kahouteiri-3.html
KIT数学ナビゲーション 金沢工大
ベクトルを用いた加法定理の証明

w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/kahouteiri-4.html
KIT数学ナビゲーション 金沢工大
■オイラーの公式による加法定理の導出

実際には，
e^(z1+z2)=e^z1^・e^z2
が成り立つことを証明するのに加法定理を使っているので加法定理の証明にはならない．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/447

459: １３２人目の素数さん [] 2024/09/23(月) 18:00:57.78 ID:w/QxknnI

>>447
>KIT数学ナビゲーション 金沢工大
>ベクトルを用いた加法定理の証明

"ベクトルを用いた加法定理の証明"
その先に、複素数を 複素平面上のベクトルとみて、極形式を使うと
二つの複素数の積を、複素平面上のベクトルの拡大と回転とみることができる
その先に、四元数による三次元空間の回転の扱いがある

(参考)
manabitimes.jp/math/875
高校数学の美しい物語
複素数平面における極形式と回転 2023/05/07
極形式
複素数を a+biではなくr(cosθ+isinθ)
という形で表すことがあります。これを複素数の極形式と言います。
この記事では，複素数の極形式と回転についてわかりやすく解説します。
目次
複素数の極形式
複素数を極形式で表す方法
指数関数による極形式
複素数平面について
複素数平面における回転

複素数平面における回転
極形式の知識をふまえて，複素数平面における回転について解説します。
「複素数平面における点の回転」は「複素数のかけ算」に対応する。
もっと数学的にきちんと言うと，「偏角が θ1  である複素数」と「偏角が θ2  である複素数」の積は
「偏角が θ1+θ2  である複素数」となる，です。
「回転」という一見やっかいな操作が，複素数のかけ算という簡単な計算で表現できるのでありがたいです。「回転をかけ算で扱える」というのが，複素数平面を使う最大のメリットと言えるでしょう。
この性質を証明してみましょう。
証明
略す

manabitimes.jp/math/983
高校数学の美しい物語
四元数と三次元空間における回転 2021/03/07
ハミルトンの四元数（クォータニオン，quaternion）について基礎から解説します。三次元空間における回転の記述を理解することが目標です。
目次
四元数（クォータニオン）とは
四元数に関連する定義
四元数の性質
三次元空間中の回転
回転の例
回転の合成と四元数の積

math.cs.kitami-it.ac.jp/~kabaya/index.html
蒲谷　祐一
math.cs.kitami-it.ac.jp/~kabaya/misc/2017/kabaya_4_for_web.pdf
群論入門大学院副コース　情報の取得と解析 蒲谷　祐一第４回（2017 11月30日）
今回の予定：
先週までの内容と趣向が変わるが空間の回転を表す群（直交群），四元数（quaternion）を紹介．

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0
四元数
四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいて三次元での回転の計算（英語版）でも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。
三次元および四次元の回転群
詳細は「回転 (数学)」を参照

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/459

460: １３２人目の素数さん [] 2024/09/23(月) 19:12:16.72 ID:w/QxknnI

>>421 補足
>as Remmert 2012

Remmert氏は、たしか 複素関数論の大家（下記）
”多変数関数理論における複素空間理論の発展に大きく関与しました”
”レンメルトの歴史的関心は、岡潔の作品の編集やハウスドルフ版の共同編集者としても明らかでした”
とありますね

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Reinhold_Remmert
Reinhold Remmert (22 June 1930 – 9 March 2016[1][2]) was a German mathematician. Born in Osnabrück, Lower Saxony, he studied mathematics, mathematical logic and physics in Münster. He established and developed the theory of complex-analytic spaces in joint work with Hans Grauert. Until his retirement in 1995, he was a professor for complex analysis in Münster.

Remmert wrote two books on number theory and complex analysis, which contain a huge amount of historical information together with references on important papers in the subject.

https://de.wikipedia.org/wiki/Reinhold_Remmert
Reinhold Remmert (* 22. Juni 1930 in Osnabrück; † 9. März 2016 ebenda[1]) war ein deutscher Mathematiker. Er zählte zu den führenden deutschen Funktionentheoretikern der Nachkriegszeit.
（google訳）
人生と仕事
1949 年から 1954 年まで、レンメルトはミュンスターのヴェストファーレン ヴィルヘルム大学で数学、数理論理学、物理学をハインリヒ ベンケに師事し、 1954 年に解析集合の正則写像と有理型写像に関して博士号を取得しました。 [ 2 ]
1950 年代以降、ハンス グラウエルトやカール シュタインと一部共同で、多変数関数理論における複素空間理論の発展に大きく関与しました。
1957 年に彼の適切なマッピング定理はよく知られています。1957 年にミュンスターでのリハビリテーションを終えた後、1960 年にエアランゲンで最初の教授の職を得ました。
1963年にゲッティンゲンへの招集に応じ、1967年にミュンスターでベンケの後任となり、1995年に引退するまでミュンスターに留まった。レンメルトは、高等研究所やパリ近郊のIHESなどで何度か客員教授を務めました。

彼は関数理論に関する 2 巻の教科書の著者であり、この教科書には、そのような教科書ではほとんど取り上げられない多くの内容と多くの歴史的情報も含まれています。
レンメルトの歴史的関心は、岡潔の作品の編集やハウスドルフ版の共同編集者としても明らかでした。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/460

464: １３２人目の素数さん [] 2024/09/23(月) 23:41:19.53 ID:w/QxknnI

Rudinさんか
不勉強で、よく存じませんが、貼っておきます

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3
ウォルター・ルーディン（Walter Rudin, 1921年5月2日 - 2010年5月20日）は、アメリカ合衆国の数学者。元ウィスコンシン大学マディソン校教授。

人物
Principles of Mathematical Analysis、Functional Analysis、Real and Complex Analysisという3部の解析学の教科書を著したことで知られる。中でもPrinciples of Mathematical AnalysisとReal and Complex Analysisは、それぞれ「ベビー・ルーディン」、「ビッグ・ルーディン」の愛称で呼ばれ親しまれている。

1921年、オーストリアでユダヤ人の家庭に生まれた。1938年のアンシュルス（ナチス・ドイツによるオーストリア合邦）後、家族と共にフランスへ逃れた。1940年にフランスがドイツに降伏すると、イギリスに逃亡し残りの戦時中をイギリス海軍に服役して過ごした。終戦後、アメリカ合衆国に渡り、1949年にノースカロライナ州のデューク大学で博士号を取得した。その後、マサチューセッツ工科大学でC.L.E. ムーア教官職を務めた後、ウィスコンシン大学で教授に就任した。

1953年、数学者だったメアリー・エレン・ルーディンと結婚し、ウィスコンシン州マディソンで建築家のフランク・ロイド・ライトによって設計された邸宅に住んでいた。

2010年5月20日、パーキンソン病のため死去[1]。89歳没。

https://en.wikipedia.org/wiki/Walter_Rudin
Walter Rudin
Walter Rudin (May 2, 1921 – May 20, 2010[2])
In addition to his contributions to complex and harmonic analysis, Rudin was known for his mathematical analysis textbooks: Principles of Mathematical Analysis,[4] Real and Complex Analysis,[5] and Functional Analysis.[6] Rudin wrote Principles of Mathematical Analysis only two years after obtaining his Ph.D. from Duke University, while he was a C. L. E. Moore Instructor at MIT. Principles, acclaimed for its elegance and clarity,[7] has since become a standard textbook for introductory real analysis courses in the United States.[8]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/464

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.061s