[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 (1002ﾚｽ)
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852(1): 2024/12/30(月)08:01 ID:qdfGas+m(1/8) AAS
>>847-851
ID:UCW3fghKは、御大か
朝の巡回、ご苦労さまです
下記を見ると、微分同相の数学は長い歴史があるわけで
エキゾチック R4 に辿り着くまで、半世紀くらい
その間、これでフィールズ賞を取った人が何人かいる
素人がちょっと考えたくらいで想像できるものではないことが、よく分りました
省20
853: 2024/12/30(月)08:01 ID:qdfGas+m(2/8) AAS
つづき
Remark 2. （微分可能関数に対して）各点での微分
Dfx:TxU→Tf(x)V
は線型写像であるから well defined な逆関数を持つことと Dfx が全単射であることは同値である。Dfx の行列表現は i-行目と j-列目の成分が
∂fi/∂xj であるような一階偏微分の n × n 行列である。しばしばこのいわゆるヤコビ行列を明示的な計算に対して使う。
Remark 3. 微分同相写像は同じ次元の多様体間でなければならない。
Remark 4. Dfx が x において全単射であれば f は局所微分同相写像 (local diffeomorphism) であるという（なぜならば連続性によって x に十分近いすべての y に対して Dfy もまた全単射になるからである）。
省5
854: 2024/12/30(月)08:03 ID:qdfGas+m(3/8) AAS
つづき
例
略す
微分同相写像の群
略す
微分同相写像の拡張
1926 年、Tibor Radó は単位円の単位円板への任意の同相写像（あるいは微分同相写像）の調和拡大 (harmonic extension) は開円板上の微分同相写像を生むかどうか問うた。エレガントな証明がすぐ後に ヘルムート・クネーザー (Hellmuth Kneser) によって提出され、全く異なる証明がギュスタヴ・ショケ (Gustave Choquet) によって 1945 年に、明らかに定理が既に知られていたことに気付かずに、発見された。
省7
855: 2024/12/30(月)08:03 ID:qdfGas+m(4/8) AAS
つづき
ホモトピー型
略す
同相写像と微分同相写像
微分同相写像でない同相写像を見つけるのは容易だが、微分同相でない同相多様体の対を見つけることはより難しい。次元 1, 2, 3 において、同相で滑らかな多様体の任意の対は微分同相である。次元 4 かまたはそれより上において、同相だが微分同相でない対の例が見つかっている。最初のそのような例はジョン・ミルナー (John Milnor) によって 7 次元において構成された。彼は標準的な 7 次元球面に同相だが微分同相ではない（今ではミルナー球面（英語版）と呼ばれる）滑らかな 7 次元多様体を構成した。実は 7 次元球面に同相な多様体の向き付けられた微分同相類は 28 存在する（そのそれぞれは 3 次元球面をファイバーとして持つ 4 次元球面上のファイバー束の全空間である。
はるかに極端な現象は4次元多様体に対して起こる： 1980年代初頭、サイモン・ドナルドソン (Simon Donaldson) とマイケル・フリードマン (Michael Freedman) による結果を合わせてエキゾチック R4の発見が導かれた： それぞれが R4 に同相な R4 の開部分集合でどの 2 つも微分同相でないものが非可算個存在し、また、R4 に滑らかに埋め込めない R4 に同相などの 2 つも微分同相でない可微分多様体が非可算個存在する
(引用終り)
省1
856(1): 2024/12/30(月)13:15 ID:qdfGas+m(5/8) AAS
>>852 追加
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
複素多様体
微分幾何学で複素多様体（ふくそたようたい、英: complex manifold）とは、多様体上の各点の開近傍が、
Cn の中の単位開円板への正則な座標変換を持つ多様体のことを言う[注釈 1]。座標変換が正則である場合には、
Cnの中で、コーシー・リーマンの方程式の制約を受ける。
省7
857(1): 2024/12/30(月)14:33 ID:qdfGas+m(6/8) AAS
>>856 追加
複素多様体が、分ってなかったことが、分った ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ[html]:www.mathsoc.jp
日本数学会の出版物
「数学」− 電子版へのインターフェース
論説（数論）
省9
858: 2024/12/30(月)19:28 ID:qdfGas+m(7/8) AAS
>>857 追加
複素多様体論 辻元先生のPDF が見つかった
これは 成書 別冊数理科学 複素多様体論講義 2012年 サイエンス社の下書きだろうか
”1.1 はじめに”の『これらの古典的な歴史を見て思うのは、物事を１つの側面からだけ見ていたのでは駄目だということである。 物事にはいろいろな側面があり、それらを総合しないと全体像は把握できない。 特に代数多様体の世界のように複雑な世界を探求するにはなお更である』
格調高いね。まさに至言です
(参考)
www5f.biglobe.ne.jp/~inamoto/dream/physics/index.html
省13
859: 2024/12/30(月)19:29 ID:qdfGas+m(8/8) AAS
つづき
これらの古典的な歴史を見て思うのは、物事を１つの側面からだけ見ていたのでは駄目だということである。 物事にはいろいろな側面があり、それらを総合しないと全体像は把握できない。 特に代数多様体の世界のように複雑な世界を探求するにはなお更である。というような訳で、盛り沢山の内容を如何に分かり易く読者に伝えるか、著者なりに気を使った。 是非通読して、複素幾何学の基礎を固めて欲しい。
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複素多様体論講義 - サイエンス社 辻 元 2020電子版
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別冊数理科学 複素多様体論講義 2012年 10月号
上位レビュー susumukuni
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