ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

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568: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/04(月) 11:30:57.78 ID:lqiQeLpq

>>565
>乗数イデアル層に関するルンゲ型の近似定理とその応用を書いた
>プレプリントを貰った

これは御大か
むずい

検索： 乗数イデアル層に関するルンゲ型の近似定理
で、見繕い

（野口潤次郎先生、お元気そう）
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/CA-1SV-Aihara-Noguchi.pdf
複素解析一変数・多変数の関数相原義弘・野口潤次郎2024 年1月11日
Graduate School of Mathematical Sciences
PDF
2024/01/11 — ついで，第 2 連接定理の特別な場合である非特異解析的部分集合 (複素部分多. 様体) のイデアル層の連接性を示す． ... 2 ルンゲの近似定理 (一変数) .
65 ページ

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/21C-CAI-Cauchy-Oka-Front-Chap1-Aihara-Noguchi.pdf
21世紀複素解析入門A.L.コーシー ∼岡潔相原義弘・野口潤次郎2023 年1月30日
Graduate School of Mathematical Sciences
2023/01/30 — 前章で示した岡の上空移行の原. 理を適用して，岡・ヴェイユの近似定理，クザンの問題，岡原理を証明する．それ. ぞれについて，一変数の場合のルンゲの近似 ...
63 ページ

https://www.mathsoc.jp/section/complex/PDF/2016_2.pdf
函数論分科会 アブストラクト日本数学会 2016
A new general idea for starlike and convex functions
(2) 定理の定式化のポイントは乗数イデアル層を用いる点にある. たとえ直線束がネフ. でも (ネフ直線束は常に擬正だが), 乗数イデアル層なしでは単射性定理は成立しない.

https://users.fmf.uni-lj.si/forstneric/papers/2013Forstneric-OhsawaJapanese.pdf
数理研 講究録
Gunning-Narasimhan's theorem with a growth condition
Univerza v Ljubljani
大沢健夫 著 · 2012 — Cauchy の留数解析を発端とする一変数の複素解析においては、Mittag-Leffler. の定理、 Weierstrass の乗積定理、および Rungeの近似定理を柱とする基礎理論. が・・

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/568

574: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/04(月) 15:10:18.88 ID:lqiQeLpq

>>570-572
ご苦労さまです

>>572 は、御大か
御大の茶々入れ、蹴り入れも、名人芸ですねｗ ；ｐ）

>>・フーリエ変換と離散フーリエ変換とは、きちんと使い分けないといけないぞｗ ；ｐ）"

ちょっと補足すると
・離散フーリエ変換は、フーリエ変換をデジタルコンピュータの世界で扱えるようにした数学技法（下記）
　まず、ここを押えよう
・つまり、フーリエ変換の方は 人としての数学者には圧倒的に、こちらが分かり易い
　しかし、積分だとか 区間が-∞から+∞とか、デジタルコンピュータではまずい
・そこで、フーリエ変換→離散フーリエ変換 で、デジタルコンピュータの中に フーリエ変換の手法を取り込んだってことだ
　そして FFTという高速アルゴリズムが加わって、応用が一気に広がった（下記）
・なので、フーリエ変換（とその逆）がもつ性質を、離散フーリエ変換も 多く受け継いでいるってことです
　ここを、まず押えようね

そのうえで、離散フーリエ変換の応用分野として、下記の次数の非常に高い多項式の乗算、公開鍵暗号で用いるような長大な整数の乗算の高速化などもある

で、おサルさんが、離散フーリエ変換を 代数方程式の解法とか円分方程式に応用しようと 思ったとすれば、それは素晴らしいと思うよ
だから、その思いつきの先を語れよ！！ｗｗｗｗｗｗ ；ｐ）

(参考)
http://lupus.is.kochi-u.ac.jp/shiota/
塩田研一 高知大学 理工学部 情報科学教室の准教授
http://lupus.is.kochi-u.ac.jp/shiota/am2021/am11e.html
応用数学 第11回 (5)　離散フーリエ変換
このページは教養として読んでおいてください。
離散フーリエ変換の応用例
(1)信号処理では、信号を周波数成分に分解する「スペクトル解析」に用いられます。
(2)静止画像の圧縮技術である jpg は離散コサイン変換を用いています。 主要な周波数成分以外をカットすることでデータ量を減らしており、 どこまでカットするか、で画質・データ量をコントロールします。
(3)次数の非常に高い多項式の乗算や、公開鍵暗号で用いるような長大な整数の乗算の高速化にも応用できます。 乗算に必要な畳み込みの計算 ( Rem.6 参照 ) が、離散フーリエ変換の世界では単なる掛け算になり、 計算量のオーダーがさがる、という仕組みです。
離散フーリエ変換を詳しく扱った教科書はあまりありませんが、 計算機でデジタル処理をするときには必要な技術です。
高速フーリエ変換
略

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/574

575: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/04(月) 15:11:55.46 ID:lqiQeLpq

つづき

qiita.com/TumoiYorozu/items/5855d75a47ef2c7e62c8
(Tumoi Yorozu)
離散フーリエ変換(DFT)の仕組みを完全に理解する
最終更新日 2023年01月10日

離散フーリエ変換とは，離散的な信号を三角関数の和に分解する変換です．離散的な信号とは，「n次元ベクトル」や「要素数nの配列」とも言いかえることができます．
これらのデータはいかなる実数・複素数値を取るデータだとしても
n個の sinとcos
に分解できることが知られています．分解された
cos,sinの成分量だけに注目すると，
2n個の実数配列，あるいは 長さ n
の複素ベクトル（複素数の配列）に変換できます．
つまり 離散フーリエ変換 とは，長さ n
の実数ベクトル(配列)を入力に，長さ
nの複素ベクトル(配列)を出力する変換と言えます．（一般化により，長さ
nの複素ベクトルを入力に，長さ
nの複素ベクトルを出力する操作とも言えます）
離散フーリエ変換を高速に行うアルゴリズムのことを 高速フーリエ変換(Fast Fourier Transform, FFT) と言います．
離散フーリエ変換により複数の
波に分解することができるので，ある音声データに含まれる音の周波数を分析することなどが可能です．
また，離散フーリエ変換の公式が持つ副作用的な特徴により，畳み込み（合成積） を求めることができます．畳み込みは
・音声信号処理における「エコー」「リバーブ」フィルタ
・画像信号処理における「ブラー（ぼかし）」「シャープ化」フィルタ
・競技プログラミングにおける畳み込み演算のアレコレ（e.g. 多倍長整数の掛け算．多項式の掛け算．組み合わせ）
などの幅広い用途で使われます．畳み込みはナイーブな実装だとサイズn
のデータに対して O(n^2)
の計算時間がかかりますが，FFT を用いることで
O(n*log n)で計算できるようになります．とっても速いですね．
（畳み込みを考えるときは，周波数成分の分解というDFTの本来の目的・特徴はあまり重要ではありません）
DFT の公式を既知として FFT の解説を行う記事は割とたくさんある気がするのですが，FFT未履修者にとって DFT の複雑な公式をいきなり出されても数式拒否してしまう事もあると思ったので，DFT を詳しく解説する記事を書きました．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/575

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