ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

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510: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/10/31(木) 09:24:55.13 ID:ZGzgFBbd

>>506
必死の逃げか？ 修正再投稿ｗ
>>486-493
君もたまには、良いことを書くね

ただし、「事実、ラグランジュ分解式はフーリエ変換と見做すことができる」>>487>>489
は、大滑りだろう

君は、数学科だがオチコボレさんで 数学のど素人同然だろ？
下記

(参考)
フーリエ変換 ja.wikipedia.org/
フーリエ変換は、実変数の複素または実数値関数 fを、別の同種の関数 ˆfに写す変換である
工学においては、変換後の関数 ˆfはもとの関数 fに含まれる周波数を記述していると考え、しばしばもとの関数
fの周波数領域表現 (frequency domain representation) と呼ばれる。言い換えれば、フーリエ変換は関数 fを正弦波・余弦波に分解するとも言える
定義
絶対可積分関数に対する定義
本項では f^(ξ):=∫−∞〜∞ f(x)e^−2πixξdx
を定義として用いる。ここでギリシャ文字小文字の ξ は任意の実数である

フーリエ級数 ja.wikipedia.org/
フーリエ級数とは、複雑な周期関数や周期信号を単純な形の周期性をもつ関数の無限和（級数）によって表したものである
複素数値関数のフーリエ級数（複素フーリエ級数）
オイラーの公式を用いると、複素数型のフーリエ級数を得ることができる。f も複素数値に取ることができ
cn=1/2π∫−π〜π f(t)exp(−int)dt,(n=0,±1,±2,…)
を、f のフーリエ係数 (Fourier coefficient) といい

これを用いて書かれた多項式
Σn=−m〜m cne^inx
を、m 次のフーリエ多項式 (Fourier polynomial) という。この m を +∞ にした極限
Σn=−∞〜∞ cne^inx = lim m→+∞ Σn=−m〜m cne^inx
をフーリエ級数という

離散フーリエ変換とは、複素関数 f(x)を複素関数 ja.wikipedia.org/
F(t)に写す写像であって、次の式で定義されるものを言う
F(t)=Σx=0〜N−1 f(x) exp⁡(−i2πtx/N)
ここで、Nは任意の自然数、 eはネイピア数、i は虚数単位 [注 1]で、π は円周率である
(引用終り)
つまり、４つの用語 フーリエ変換、フーリエ級数、m 次のフーリエ多項式 (Fourier polynomial) 、離散フーリエ変換があって
フーリエ多項式の m を +∞ にした極限が フーリエ級数
フーリエ級数でのΣを積分 ∫ つまりは、連続変数による変換が フーリエ変換、離散フーリエ変換はフーリエ変換の離散版
(引用終り)

この4つの用語を正確に使わないと
ど素人の妄言は、わけわからんぞ

誤：ラグランジュ分解式はフーリエ変換と見做すことができる
正：ラグランジュ分解式はフーリエ多項式と見做すことができる

でないと、意味が通らない
あと、フーリエ変換でもフーリエ多項式でも離散フーリエ変換でも良いが、フーリエ変換なりに持ち込む意義を語らないといけない

フーリエ変換で、すでにいろんな定理や結果が得られているので、こんなことが言える みたいな
ど素人が、フーリエ変換の定義式 f^(ξ):=∫−∞〜∞ f(x)e^−2πixξdx を見て ”f(x)e^−2πix”の部分が、ラグランジュ分解式と似ていると思ったのか？
素朴な発想が悪いとは言わないが、それだけのことかよ？ｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/510

512: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/10/31(木) 10:06:38.05 ID:ZGzgFBbd

>>510 補足
おサルさん(>>9)のために
ご参考 下記

要するに、4つの用語：フーリエ変換、フーリエ級数、m 次のフーリエ多項式 (Fourier polynomial) 、離散フーリエ変換があって
フーリエ多項式の m を +∞ にした極限が フーリエ級数
フーリエ級数でのΣを積分 ∫ つまりは、連続変数による変換が フーリエ変換、離散フーリエ変換はフーリエ変換の離散版

・フーリエ変換と離散フーリエ変換とは、きちんと使い分けないといけないぞｗ ；ｐ）
・離散フーリエ変換は、下記の東北大学 鏡 慎吾にあるように
　その主旨は、フーリエ変換をコンピュータのデジタル処理をするためのツール（下記のMathWorks MATLAB ご参照）
・コンピュータのデジタル処理には、積分のままではまずい。数値積分も可能だが、もっと賢い方法がある
　それが、離散フーリエ変換だってことよ。これが キモですよｗ ；ｐ）

(参考)
www.ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/yaruodsp/main.html
やる夫で学ぶディジタル信号処理
東北大学 大学院情報科学研究科 鏡 慎吾
www.ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/yaruodsp/dft.html
やる夫で学ぶディジタル信号処理

6. 離散フーリエ変換
やらない夫
これまで，フーリエ級数から始めて，フーリエ変換に進み，そして前回は離散時間フーリエ変換を学んだわけだ

やらない夫
とりあえず式 (5.3) の離散時間フーリエ変換の方はよしとしようか．ある角周波数ωを固定して右辺を計算すれば，その周波数の成分が計算できる．もちろん無限和は計算できないけど，現実世界に存在するの信号は有限の長さだからな．有限個の総和で計算できる．問題は式 (5.8) の逆変換だ

やらない夫
時間は離散化されたけど，周波数は連続のままだからな．積分は計算機では厳密には計算できない

やる夫
じゃあ，周波数も離散化すればいいんだお!

やらない夫
おお，空気読めるじゃないか．今回はその話だ

6.2 周波数領域を離散化する
つづく
略

jp.mathworks.com/help/signal/ug/discrete-fourier-transform.html
The MathWorks, Inc.
このページの内容は最新ではありません。最新版の英語を参照するには、ここをクリックします
離散フーリエ変換
離散フーリエ変換 (DFT) は、デジタル信号処理の基本となるツールです
製品の基礎をなしているのは高速フーリエ変換 (FFT) で、短い実行時間で DFT を計算します
多くのツールボックス関数 (Z 領域周波数応答、スペクトル解析とケプストラム解析、および一部のフィルター設計関数やフィルター実装関数を含む) には、FFT が組み込まれています
MATLAB® 環境には、関数 fft と ifft があり、それぞれ離散フーリエ変換と逆離散フーリエ変換の計算に使用できます。
入力シーケンス x とこのシーケンスから変換した X (単位円周上における等間隔の周波数での離散時間フーリエ変換) に対し、この 2 つの関数によって次の関係が実装されます

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/512

513: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/10/31(木) 10:16:34.37 ID:ZGzgFBbd

>>512
>製品の基礎をなしているのは高速フーリエ変換 (FFT) で、短い実行時間で DFT を計算します

このスレは、御大の巡回ルートに入っているので
FFTの歴史 ：1805年頃に既にガウスが同様のアルゴリズムを独自に発見していた[9]
を引用しておきますね
（まあ、常識ではありますが ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E9%80%9F%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B
高速フーリエ変換（英: fast Fourier transform, FFT）は、離散フーリエ変換（英: discrete Fourier transform, DFT）を計算機上で高速に計算するアルゴリズムである。高速フーリエ変換の逆変換を逆高速フーリエ変換（英: inverse fast Fourier transform, IFFT）と呼ぶ。
概要
複素関数 f(x) の離散フーリエ変換である複素関数 F(t) は以下で定義される。
略す
このとき、{x = 0, 1, 2, ..., N − 1} を標本点と言う。
これを直接計算したときの時間計算量は、ランダウの記号を用いて表現すると O(N2) である。
高速フーリエ変換は、この結果を、次数Nが2の累乗のときに O(N log N) の計算量で得るアルゴリズムである。
次数が 2 の累乗のときが最も高速に計算でき、アルゴリズムも単純になるので、0 詰めで次数を調整することもある。

歴史
高速フーリエ変換といえば一般的には1965年、ジェイムズ・クーリー（英語版） (J. W. Cooley) とジョン・テューキー (J. W. Tukey) が発見した[1] とされているクーリー–テューキー型FFTアルゴリズム（英語版）を呼ぶ[7]。同時期に高橋秀俊がクーリーとテューキーとは全く独立にフーリエ変換を高速で行うためのアルゴリズムを考案していた[8]。しかし、1805年頃に既にガウスが同様のアルゴリズムを独自に発見していた[9]（本ページの外部リンク先に同じ文章PDFへのリンクがある）。ガウスの論文以降、地球物理学や気候や潮位解析などの分野などで測定値に対する調和解析は行われていたので、計算上の工夫を必要とする応用分野で受け継がれていたようである（たとえば、Robart L. Nowack:
略
以下の書籍にも、天体観測の軌道の補間のためにガウスが高速フーリエ変換を利用したことが書かれている。
略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/513

522: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/10/31(木) 14:56:28.15 ID:ZGzgFBbd

>>518
>Poisson核(Dirichletが命名)

ふむふむ
これは、御大か
Poisson核とフーリエ解析ね（下記）
ご指導ありがとうございます。
あのアホとは、大違いｗ ；ｐ）

(参考)
www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kida/notes/fourier.pdf
フーリエ変換と超関数 木田良才 20200228
P15
1.5. アーベル総和法
関数Pr をT上のポアソン核という. フェイエール核の場合と同様に,次の性質がポアソン核に対して示される

sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/fourier/fourier.pdf
フーリエ解析入門 山上滋 H170331
P16
Proof.ポアソン核を使った一様近似定理
P51
N が大きい場合、計算機の性能を簡単に越えてしまうことが起こり得る。これを回避する工夫として、Nが素数の冪で表される場合に限定されるものの、この計算のステップ数を大幅に減らす方法が、CooleyとTukeyによる高速フーリエ変換(FastFourier Transform) である。その原理は、いたって単純で次のようなものである（アルゴリズムそのものは、ガウスにまでさかのぼれるものであるらしい）

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3%E6%A0%B8
ポアソン核
数学のポテンシャル論におけるポアソン核（ポアソンかく、英: Poisson kernel）とは、単位円板上のディリクレ境界条件を伴う二次元ラプラス方程式を解く際に用いられるある積分核のことを言う。ラプラス方程式に対するグリーン函数の微分として解釈することが出来る。シメオン・ドニ・ポアソンの名にちなむ

二次元ポアソン核
単位円板上のポアソン核

複素平面において、単位円板に対するポアソン核は次で与えられる。

Pr(θ)=Σ n=−∞〜∞ r^|n| * e^inθ=(1−r^2)/(1−2rcos⁡θ+r^2)=Re{⁡(1+re^iθ)/(1−re^iθ)},   0≤r<1.
これには二つの解釈が存在する。
一つは r と θ の函数という解釈、
もう一つは r によって添え字付けられた θ の函数の族という解釈である。

u の境界での値が f であるということは、r → 1 につれて函数 Pr(θ) が畳み込み多元環 Lp(T) 内の近似的単位元（英語版）を形成するという事実より示される。線型作用素と同様に、それらは Lp(T) 上でディラックのデルタ函数に各点収束する。最大値原理より、u はそのような D 上の調和函数として唯一つのものである。

この近似的単位元との畳み込みは、L1(T) 内の函数のフーリエ級数に対する総和可能核（英語版）の例を与える(Katznelson 1976)。f ∈ L1(T) はフーリエ級数 {fk} を持つとする。フーリエ変換ののち、Pr(θ) との畳み込みは列 {r|k|} ∈ l1(Z) との乗算になる。その結果得られる積 {r|k|fk} に逆フーリエ変換を施すことで、次のような f のアーベル平均
Ar fが得られる：
Ar f(e^2πix)=Σk∈Z fk *r^|k| *e^2πikx.
この絶対収束級数を再び整理することで、f は D 上のある正則函数 g と反正則函数 h の和 g + h の境界値であることが示される。

調和函数が正則であるためには、解はハーディ空間の元であることとなる。これは f の負のフーリエ係数がすべて消失する場合に真となる。特に、ポアソン核は単位円板上のハーディ空間と単位円の同値性を論証する上で一般に用いられる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/522

523: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/10/31(木) 15:19:20.65 ID:ZGzgFBbd

>>520
>「逆離散フーリエ変換」で、もとの数に戻り
>これが根のべき根表示そのものだから。

ど素人の妄言は、さっぱりわからんが
君の妄想は、クロネッカー・ウェーバーの定理 下記 を想起させる
が、ど素人の妄言は、ど素人の妄言でしかないｗ ；ｐ）

まあ、だれかにならって、”「逆離散フーリエ変換」で、もとの数に戻り
これが根のべき根表示そのもの”を、論文にして投稿しなよｗｗｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
クロネッカー・ウェーバーの定理
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker–Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。例えば、
√5=e^{2πi/5}-e^{4πi/5}-e^{6πi/5}+e^{8πi/5}
である。この定理の名前はレオポルト・クロネッカー (Leopold Kronecker) とハインリッヒ・マルチン・ウェーバー（英語版） (Heinrich Martin Weber) に因んでいる。
体論的定式化
クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大のことばで記述することができる。それは、有理数体 Q の有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理である。つまり、Q 上のガロア群がアーベル群である代数体は、ある1のべき根を有理数体Qに添加して得られる体の部分体である。
Q のアーベル拡大 K が与えられると、K を含む最小な円分体が存在する。この定理によって、K の導手 n を 1 の n 乗根により生成される体に K が含まれるような最小の整数 n として定義できる。例えば、二次体の導手は、それらの判別式（英語版）の絶対値であり、これは類体論で一般化される事実である。
一般化
Lubin and Tate (1965, 1966) は、局所体の任意のアーベル拡大は円分拡大とルービン・テイトの拡大（英語版）を用いて構成することができるという局所クロネッカー・ウェーバーの定理を証明した。Hazewinkel (1975), Rosen (1981), Lubin (1981) は別証明を与えた。
ヒルベルトの第12問題は、クロネッカー・ウェーバーの定理を有理数体以外の体を基礎体として一般化することができるかと問い、その体では1のべき根の類似物は何かを問うている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/523

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