ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

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862: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/31(火) 08:43:49.99 ID:AlJH/MnG

>>680
ID:7a6M3386は、御大か
朝の巡回ご苦労さまです

複素多様体論 辻元先生 下記
格調高いですね。百回音読する価値がありますね （＾＾
＜再録＞
1.1 はじめに
複素多様体論は、難しいと言われる。　実際、複素多様体論は実に広範な知識を必要とする。　可微分多様体論、多変数関数論、微分幾何学、偏微分方程式論、関数解析学、代数幾何学など全てを勉強しようとすると気が遠くなりそうに思う人も多いであろう。しかしながら、実は大半の部分は初等的であり、それ程広範な知識は必要としない。基本的には複素多様体から得られる、有限次元ベクトル空間に、複素多様体の性質を投影させることで大半の定理が得られているのである。つまり、コホモロジー群という多くの学生にとって苦手な対象さえ、自由に使いこなせれば、大半の理論は理解可能である。邪魔なコホモロジーを消したりするには、¯ ∂方程式を解くことになるが、これも、線形代数における連立方程式を無限次元に素直に一般化したものに過ぎない。例えばラプラス作用素が自己随伴であるということは、行列がエルミートであることと同じで、無限次元という鎧を着けているために立派な理論に見えているだけである。

近年の複素解析幾何学の発展により、複素多様体論の性質は、多重劣調和関数の理論や正則領域の理論に見られる凸性に多くの事柄が帰着することを指し示しているように見える。「全ての道はローマに通ず」ではなく、全ての道は擬凸性に通じるのである。実際、多変数関数論の研究は擬凸性の研究から始まったのであって、岡潔のレビ問題の解決(1954)などを見ても、表立ってコホモロジーの概念を使わずに議論がなされて来た。この頃は、積分公式により実質的に¯ ∂方程式を解いていたので、関数解析的な手法も使われていなかった。　それと同じ頃、調和積分論を複素多様体上に一般化する試みが小平邦彦により進められ、調和積分論の整備が始められた。
　特に、小平の消滅定理が証明され、代数多様体の特徴付けがなされたのは画期的な事件であった。その後、これら２つの手法は、岡潔の発見した層の理論を通じて１つの物になり、やがてGrothendiekによるスキーム論による代数幾何学の基礎付けが行なわれ、特に特異点を持つ代数多様体やさらには有限体上の代数多様体の研究などが強力に推し進められた。

また、モジュライの理論も、Mumford、Griffithなどにより幾何学的不変式論や、周期積分の観点から盛んに研究された。
しかしながら、その一方でヘルマンダーにより、小平理論の関数解析的な、非コンパクト多様体への拡張が行なわれ、著しい応用が見付けられた。　つまり、Grothendiek流の抽象論とは別の、謂わば量的な方法の進歩により、理論はより深化して行った

これらの古典的な歴史を見て思うのは、物事を１つの側面からだけ見ていたのでは駄目だということである。　物事にはいろいろな側面があり、それらを総合しないと全体像は把握できない。　特に代数多様体の世界のように複雑な世界を探求するにはなお更である。というような訳で、盛り沢山の内容を如何に分かり易く読者に伝えるか、著者なりに気を使った。　是非通読して、複素幾何学の基礎を固めて欲しい。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/862

877: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 16:09:36.88 ID:AlJH/MnG

>>873
>「あくまで数学の基礎で地下部分
>　これで地上の普通の数学をやろうという人はいません
>　不自由すぎる」
>とほざきそう　ブルバキが聞いたら嘆くぞ

ふっふ、ほっほ
大学数学科2年で詰んで
3年からオチコボレさんなら、ブルバキ読んでないよねｗｗｗ ；ｐ）

実際、ZFCスレにも書いたけど
ZFC内で、円周率πの近似値 3.14を、まともにノイマン順序数で書いたら
3 = {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}
1 = {Φ}
4 = {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}}
なので
π≒{Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}} . {Φ} {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}}
となります ；ｐ）

ことほどさように、ZFC内は全てが空集合Φから組み立てられて
基礎論としては、美しい

しかし、数学の地上の部分は、ZFC以前に多くの部分が出来上がっているのです
ガウスとかリーマンとかの活躍で、すでに多くの部分が出来上がっているのです

それを全部 π≒ {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}} . {Φ} {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}}
で書き直すアホは、おりません！！ ｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
選択公理を含むツェルメロ＝フレンケル集合論はZFCと略される。Cは選択 (Choice) 公理を[1] 、 ZFは選択公理を除いたツェルメロ (Zermelo)＝フレンケル (Fraenkel) 集合論の公理を表す。

7. 無限公理
最初のフォン・ノイマン順序数
0 = {} =Φ
1 = {0} = {Φ}
2 = {0, 1} = {Φ, {Φ}}
3 = {0, 1, 2} = {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}
4 = {0, 1, 2, 3} = {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}}

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/877

882: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/31(火) 16:53:08.19 ID:AlJH/MnG

>>878 補足

いまや、古文書で 伝説と化した ブルバキ
検索でいつもの 下記 斎藤毅 ブルバキと「数学原論」がヒットします
チラ見すれば、ブルバキがどんなものかが、分る！

ブルバキ流が、ガチガチのZFCではない
もっとスケールの大きなものでした

が、21世紀の数学は、そのスケールの大きなブルバキさえ 越えて広がってしまったのですｗ ；ｐ）
（なので、斎藤毅先生自身が、『数学原論』を書いてしまいましたとさ （＾＾ ）

(参考)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd.html
斎藤毅
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf
ブルバキと「数学原論」数学セミナー2002年4月号
2. ブルバキの誕生.
ブルバキは1934年A.ヴェイユとH.カルタンの間に生まれ,1939年に「数学原論」の最初の巻「集合論要約」を出版. 以後1950年代末までに「数学原論」のうち「集合論」, 「代数」,「位相」,「実一変数関数」,「位相線型空間」,「積分」からなる第1部を完結. その後もペースは落ちたものの,ひきつづき第2部の「リー群とリー環」,「可換代数」,「スペクトル論」,「多様体」と,第1部の改訂版の出版をつづける. この他, 毎年3回ブルバキ・セミナーを主催,というのがブルバキの略歴です

ブルバキ誕生のいきさつは「A.ヴェイユ自伝」(稲葉延子訳,シュプリンガー・フェアラーク東京)などによると,次のようです. 1930年代, ストラスブール大で微積分を教えていたヴェイユとカルタンは,その教え方について議論を重ねていました. 何度となく繰り返される議論にケリをつけるため,彼らは,微積分をきちんと基礎付けた教科書を, 仲間を集めて書くことにしました. そのころの数学書には,厳密さがそれ以前よりずっときびしく求められるようになってきていたのですが,当時のフランスの微積分の教科書には,この要請をみたしているものがなかったのです.彼らの計画は, 微積分の基礎付けという最初の目的から, 数学全体の基礎付けへとすぐに大きくふくらんでいきました. 彼らの本の題は,ユークリッドの「原論」にちなんで,「数学原論」に決まりました. ユークリッドの「原論」は,内容はギリシャ数学全般にわたり, 記述は正確で厳密なことで知られます. 彼らは,現代の数学の「原論」を書くことにしたのです

3. 「数学原論」
はじめは微積分の教科書を書こうとしていたはずなのに,実数が登場するのは,「位相」の第4章,「集合論」から数えて12冊目の後半です. 微分の定義は「実一変数関数」ですから,なんと16冊目です.ではなぜ彼らはこういう文体,構成をとったのでしょうか. それは,彼らが目標とした, 正確さ, 厳密さを確保するための方法によるものなのです. それがどういうものであるかは, 各分冊の最初のページにある,「この本の使い方」に書かれています. いくつか抜粋します.「この原論は数学をその第一歩から取扱い,完全な証明をつける」「叙述の仕方は公理的,抽象的であり,原則として,一般から特殊へと進む」「内容は原則として厳密に定められた論理的順序に従って配列される」「すでに広い知識を持合わせている読者にしかその効用がわからないような事柄も含まれている」完全な証明をつけるのですから,図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/882

883: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/31(火) 16:54:09.14 ID:AlJH/MnG

つづき

定義の動機づけや,定理や命題のもつ意味の説明がないのも,それを厳密に述べようとすれば, 結局は理論を展開するほかないからでしょうか. とはいっても,こんなふうに突き放されてしまうと,初心者にはつらいものがありますね.彼らが「数学原論」の記述に採用したのは,公理的方法とよばれるものです. 例えば, 数直線,リー群,代数多様体,関数空間,p進体など,さまざまな数学的対象がある共通の位相的性質をもつことを証明したいとしましょう. そのときこの方法では,1つ1つの対象に対して同じような証明をくりかえすなどということはしません. そうではなく, まずこれらの対象が共通にもつ性質を抽出し,それを少数の命題からなる位相空間の公理としてまとめます. そして,この公理から問題となっている性質を導きだすことによって,いっぺんに証明をすましてしまうのです. 公理的方法は抽象的なものですが, 数学のさまざまな分野を結びつける力をもった強力なものです. 「数学原論」では,この方法が極端なまでに組織的に, そして厳格に貫かれています. 1つ1つの定義,命題が徹底的な検討を経て定式化され,そしてそれらが,論理的順序に従い,整然と秩序だって並べられています. 「集合論」,「代数」,「位相」,... という構成も, そうして定まったものなのです. 彼らは自分たちの原則に忠実にしたがい,考え抜かれた緻密な構成と, 明晰で厳密な論証をもつ数学書を,次々と作り出していったのです.

「数学原論」の数学的内容について,もう少しだけ立ち入ってみたいと思います. というと,「構造」についてふれるのがほとんど定番のようになっています. しかしここでは, ブルバキが線型代数を重視したことに注目したいと思います. このことは,彼らがモデルとしたに違いない,ファン-デル-ヴェルデン「現代代数学」と比べてみるとよくわかります. 「数学原論」では,線型代数と多重線型代数はそれぞれ,「代数」の巻の第2章, 第3章の主題です. 一方「現代代数学」では,線型代数は最後の巻である第3巻の後半,第15章になってようやく現れ,多重線型代数はでてきません. ブルバキは,数学全体の基礎を集合論に求めましたが,代数の基礎は線型代数においたのです. こうすることにより,「現代代数学」ではばらばらに扱われていた,イデアル,線型空間,拡大体, アーベル群, 線型表現などが体系的に扱われることになりました. 例えばガロワ理論は, 拡大体のテンソル積の構造から見通しよく導き出されますし,行列式も,外積代数を使って鮮やかに定義されます. ブルバキはこのように,線型代数は数学を支える大きな柱であることを主張しました. 線型代数は,当時勢いよく発展しつつあったホモロジー代数とともに,その占めるべき本来の位置を数学の中にとりもどしたのです. 40 年代,50年代に「数学原論」の各巻が次々と出版されると,それは数学界に大きな反響をまきおこしました. 反発を感じる数学者も多かったようですが, それ以上に,積極的に幅広く受け入れられていったのです. 数学全体を公理的集合論の上に厳密に基礎付ける, というヒルベルト以来の夢を現実にしたことも,その一因でしょう. しかし本当の理由は,そういうメタ数学的なものではないと思います.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/883

891: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:51:50.87 ID:AlJH/MnG

立川裕二 ムーンシャイン

www.nippyo.co.jp/shop/magazines/latest/4.html
数学セミナー 最新号：2025年1月号 (発売日2024年12月12日) の目次
場の量子論の数学をめぐって／2次元共形場理論とムーンシャイン現象
　　……立川裕二　48

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%82%A4%E3%83%B3
モンストラス・ムーンシャイン（英: monstrous moonshine）
モンスター群とモジュラー函数、特に j-不変量との間の予期せぬ関係を指し示す用語、およびそれを記述する理論である。1979年にジョン・コンウェイとサイモン・ノートン（英語版）(Simon Norton)により命名された。今ではその背景として、モンスター群を対称性として持つある共形場理論があることが知られている。コンウェイとノートンによって考案されたムーンシャイン予想は1992年、リチャード・ボーチャーズにより、弦理論や頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra; VOA)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。

量子重力との予想される関係
ウィッテンは、「ムーンシャイン加群は、中心電荷が 24 で指標が
j−744 である唯一の正則頂点作用素代数(VOA)である」というフレンケル・レポウスキー・ミュールマンの予想を仮定すると、最大の負の宇宙定数を持つ純粋重力は、モンスターCFTの双対であると結論づけた。ウィッテンの提案の一部として、ヴィラソロプライマリー場はブラックホールを生成する作用素の双対であり、整合性チェックとして、彼は大きな質量の極限における、与えられた質量のブラックホールのベッケンシュタイン・ホーキングの準古典エントロピーの見積もりが、対応するムーンシャイン加群のヴィラソロプライマリーの重複度の対数に一致することを発見した。

さらに、ダンカンとフレンケルは、モンスター群の元でパラメータ化されるツイストしたカイラル重力理論の族の存在を予想し、一般ムーンシャインや重力インスタントンとの関係を示唆した。現在のところ、これら全てのアイデアは推測でしかなく、その理由の一つは、3-次元量子重力が厳密な数学的な基礎を持たないことにある。

マチュー・ムーンシャイン
2010年、江口徹、大栗博司、立川祐二は、K3曲面上の楕円種数が、有質量状態（英語版）の重複度がマチュー群 M24（英語版）(Mathieu group M24)の既約表現の単純な結合のように見えるような、 N=(4,4) 超共形代数（英語版）の指標へ分解できることを発見した[要出典]。このことは、M24 対称性を持つ対象空間としてK3曲面を持つシグマモデルの共形場理論が存在することを示唆している。しかし、向井・近藤分類によると、シンプレクティック自己同型による任意のK3曲面上のこの群には忠実表現がなく、ガバルディエール(Gaberdiel)、ホーエンネッガー(Hohenegger)、ボロパト(Volpato)によると、任意のK3シグマモデルの共形場理論には忠実表現が存在しない[要出典]ため、基礎となるヒルベルト空間上に作用が現れないことはいまだに謎のままである。

en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine
Monstrous moonshine
Mathieu moonshine

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/891

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