ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10

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168: １３２人目の素数さん [] 2024/08/05(月) 13:23:20.72 ID:ucWAYrdT

>>161 ついでに
『白馬は馬ではない』の数学の例として
『群環は、群ではないのか？』とかすれば、面白かったかも
類似で、『自由加群は、群ではないのか？』など、議論が広がったかも

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_ring
Group ring
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E7%92%B0
群環
代数学において、与えられた群および環に対する群環（group ring）は、与えられた群と環の構造を自然に用いて構成される。群環はそれ自身が、与えられた環を係数環とし与えられた群を生成系とする自由加群であって、なおかつ与えられた群の演算を生成元の間の演算として「線型に」延長したものを積とする環を成す。俗に言えば、群環は与えられた群の与えられた環の元を「重み」とする形式和の全体である。与えられた環が可換であるとき、群環は与えられた環上の多元環（代数）の構造を持ち、群多元環（group algebra; 群代数）（あるいは短く群環[注 1]）と呼ばれる。
可換群上の調和解析
有限群 G がアーベル群ならば、その双対群もまた有限で G に（自然でない）同型である。故に（複素係数）群環上の調和解析の道具は有効で、フーリエ変換や畳み込みを定義し、パーシヴァルの等式、プランシュレルの定理、ポントリャーギン双対性などの定理を適用することができる。
多くの古典的な定理を有限可換群上の調和解析の言葉で解釈しなおすことができる。それらの中には、平方剰余の相互法則を示すのに使うルジャンドル記号やガウス和、円分多項式の求根に用いるガウス周期など数論的な道具も含まれる。
注釈
1^ これは少々紛らわしいが、任意の群環は係数環の中心上の群多元環となるから、その文脈で何を係数環としているかが明らかならば混乱の虞は無いであろう。

https://iwai-math-blog.com/jiyuukagunn-free-module/
岩井の数学ブログ 〜根本から理解〜
自由加群 | 形式的な有限和とは如何なる性質なのか【基底があれば濃度一定】20230413

https://mathlog.info/articles/1657
merliborn 20210129
自由とは何か
序文
数学、特に代数学においてはしばしば「自由」という概念が登場します。
この「自由な」存在たちは、各理論において強力な性質を備えているために、必ずと言っていいほどどこかのタイミングで紹介されるのですが、各論での定義を見てもいまいちよくわからないというか、記述としてふわっとしています。
普遍性という概念からして圏論的な視点がないとかなり要点が掴みづらいことも相まって、なんだか狐につままれたような感覚を覚えた人もいるかと思います。少なくとも学部生時代の私がそうでした。
本稿ではそのような「自由」という概念の特徴づけについて考察していきます
略す
結論
数学でたびたび言及される「自由」という概念について、圏論的な定式化を紹介し、箙や圏が集合からの自由な構成というものを持たない（そのように呼ばれることが一般にない）ことについて考察しました。圏論的に言えば、とにかく随伴な関手の組を用意して左と右をそれぞれ自由関手・忘却関手と呼んでしまってもいいのですが、考えている数学的構造に対して複数の忘却方法があったり、随伴の単位が自明なものであったりすると、左随伴を持っていても自由関手とは呼ばないことが多いように思います

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/168

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