[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part437 (1002ﾚｽ)
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24: 2024/07/17(水)12:00 ID:jXA/kgjj(1/8) AAS
題意から　a>√2,
漸化式は、coth の倍角公式の形である。
　a = (√2) coth(θ)　をみたす θ>0 がある：
　θ = (1/2) log((a+√2)/(a-√2)),
∴　a[n] = (√2) coth(θ･2^n) > √2.

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25: 2024/07/17(水)12:04 ID:jXA/kgjj(2/8) AAS
coth は単調減少だから
　a > a[n] > √2,

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26: 2024/07/17(水)12:32 ID:jXA/kgjj(3/8) AAS
あるいは
　a[n] = (√2) ((a+√2)^{2^n} + (a-√2)^{2^n})／((a+√2)^{2^n}−(a-√2)^{2^n}),

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27(1): 2024/07/17(水)13:25 ID:jXA/kgjj(4/8) AAS
>>7
　a = n + 1,
　1/n − 1/a = 1/{a(a-1)} = 1/(b-1),
　b = a(a-1) + 1,
　(1/n − 1/a) − 1/b = 1/{b(b-1)} = 1/(c-1),
　c = b(b-1) + 1,
　(1/n − 1/a − 1/b) − 1/c = 1/{c(c-1)} = 1/d,
省2

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30: 2024/07/17(水)13:52 ID:jXA/kgjj(5/8) AAS
>>7
この予想 (小柴予想?) は熊野氏により解決されているようです。
　数学セミナー、vol.31　エレ解　(1992/July,Oct)
　数学セミナー、vol.50　no.3　p.67-69　NOTE　(2011/Mar)
{e_m} をシルヴェスターの数列と呼ぶらしい。。。

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36(1): 2024/07/17(水)14:52 ID:jXA/kgjj(6/8) AAS
>>29
　f(x) = xx−2,
　a[n+1] = a[n] − f(a[n]) / f '(a[n])
　　　= (a[n]−√2)^2 ／2a[n]　...... 2乗収束

もし　g(x) = f(x)/√x = (xx−2)/√x　をとれば
　g"(x) = (3/4)g(x)/x^2,　g"(√2) = (3/8)g(√2) = 0,
　a[n+1]−√2 = (a[n]−√2)^3 /(3a[n]^2+2)　　…… 3乗収束
省3

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37: 2024/07/17(水)15:29 ID:jXA/kgjj(7/8) AAS
↑　
漸化式は
　b[n+1] = b[n] (b[n]^2 +6) / (3b[n]^2 +2),
b[n]/√2 に対しては　coth の 3倍角公式の形。。。

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38: 2024/07/17(水)15:42 ID:jXA/kgjj(8/8) AAS
↑
b[n] = (√2) coth(θ･3^n)
θ は　b[0] = (√2) coth(θ) = a をみたす。

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