[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part437 (1002ﾚｽ)

高校数学の質問スレ Part437 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721071007/

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637: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/03(土) 17:48:23.26 ID:DTGcotgB >>634 この問題は、整数解を求めるディオファントス方程式の一種です。 ディオファントス方程式は、一般に解が存在するか、存在するとしても有限個か無限個か、を判定することは非常に困難な問題です。 特定の条件下で解の存在や個数に関する定理が知られている場合もありますが、今回の問題に直接適用できるような一般的な定理は、現時点では見つかっていません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721071007/637

638: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/03(土) 17:51:54.60 ID:DTGcotgB >>633 証明: ケース1: p = 2 のとき p^4+14 = 2^4 + 14 = 30 30は明らかに合成数であるため、この場合、p^4+14が素数でない。 ケース2: p = 3 のとき p^4+14 = 3^4 + 14 = 95 95は5と19の積で、合成数であるため、この場合もp^4+14が素数でない。 ケース3: p ≧ 5 のとき pは5以上の素数なので、3の倍数ではない。 したがって、pを3で割った余りは1または2である。 pを3で割った余りが1のとき: p = 3n + 1 (nは自然数)とおける。 p^4+14 = (3n+1)^4 + 14 = 81n^4 + 108n^3 + 54n^2 + 12n + 15 上の式は3で割り切れるため、p^4+14は合成数である。 pを3で割った余りが2のとき: p = 3n + 2 (nは自然数)とおける。 p^4+14 = (3n+2)^4 + 14 = 81n^4 + 216n^3 + 216n^2 + 96n + 30 上の式も3で割り切れるため、p^4+14は合成数である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721071007/638

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