高校数学の質問スレ Part437

[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part437 (1002ﾚｽ)
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28: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/17(水) 13:28:47.03 ID:+ini/I4f

>>7
方程式f(x,y)=0の解(x,y)=(x_i,y_i),i=1,2,3,...において、
h_i=max(|x_i|,|y_i|)を、解(x_i,y_i)の「高さ」と呼ぶことにする。
そして、H=max(h_1,h_2,h_3,...)を方程式f(x,y)=0の「標高」と呼ぶことにする。

この用語を使用すると、この問題は、
「nを自然数とする。正整数上の方程式1/x+1/y+1/z+1/w = 1/nの標高を求めよ
　なお、n=1,2の時の標高はそれぞれ、42,1806である。」
となる。

準備
1/z+1/w=1/n,0<z<w∈N の標高は　f(n)=n(n+1)
∵w=(1/n-1/z)^(-1)は、z=n+1の時、最大値n(n+1)を取るのは明らか

また、標高はnの増加関数であることに注意

準備2
1/y+1/z+1/w=1/n,0<y<z<w∈N の標高はn(n+1){n(n+1)+1}=f(n){f(n)+1}=f(n)^2+f(n)=f(f(n))
∵1/z+1/w=1/n-1/y　右辺を1/m と置き、mが最大になるようなyは、1/y+1/m=1/nの標高を求める問題なので、y=n+1のとき、m=n(n+1)が標高
　1/z+1/w=1/m=1/{n(n+1)}の標高は、準備より、m(m+1)=n(n+1){n(n+1)+1}=f(f(n))

1/x+1/y+1/z+1/w=1/n,0<x<y<z<w∈N の標高はn(n+1)(n^2+n+1){n(n+1)(n^2+n+1)+1}=f(f(f(n)))
∵1/y+1/z+1/w=1/n-1/x　において、右辺を最小にするのは、x=n+1で、この時、右辺=1/n-1/(n+1)=1/{n(n+1)}
　1/y+1/z+1/w=1/{n(n+1)}の標高は、準備2よりf(f(n(n+1)))=f(f(f(n)))

f[n_]:=n^2+n;Table[Nest[f,n,3],{n,1,10}]
{42, 1806, 24492, 176820, 865830, 3263442, 10192056, 27630792, 67084290, 149096310}

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721071007/28

41: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/17(水) 23:09:22.42 ID:+ini/I4f

>>22
12Sum[1/i,{i,1,12}]
86021/2310

b=Table[1,12];
p=b/Total[b];Sum[-(-1)^i Total[1/Total/@Subsets[p,{i}]],{i,1,Length[p]}]
86021/2310

a={31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};b=4a;b[[2]]++;
p=b/Total[b];Sum[-(-1)^i Total[1/Total/@Subsets[p,{i}]],{i,1,Length[p]}]
26365471265193736856469417177253117577210996101602242798317734568788770322364718854541253252415521223542493
/707029362489712664129528906355283102325811557995784708506463575533631651966262215455928795644621961528800

b=400a;b[[2]]+=97;
p=b/Total[b];Sum[-(-1)^i Total[1/Total/@Subsets[p,{i}]],{i,1,Length[p]}]
86559879735388651370298371805990483264939788757779293446866731836137604174572606575723512448828705133514065755838631757805582169534025853315251713851144664600085624576759919347064088552083
/2321217069847807877846884531799323163063795031497543876203313488998403028112968708692867182702839216148692806182299699699155011100391713000652066409162572578603280534165192458406772240000

N[{%1,%3,%5,%7},10]
{37.23852814, 37.23852814, 37.29048985, 37.29073031}

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721071007/41

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