スレタイ箱入り無数目を語る部屋20

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋20 (1002ﾚｽ)
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8: １３２人目の素数さん [] 2024/07/06(土) 07:51:42.80 ID:BXv5KF7Y

つづき

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1710632805/536
・箱一つ、サイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱う
　入れた目をx、賭ける目をyと書く
　xが確率変数ならばyに依存せず的中確率=1/6であるはず
　しかし実際には　x=yのとき的中確率=1　x≠yのとき的中確率=0
　よって矛盾
　よってxは確率変数でない
　一方、yをランダム選択した場合、yが確率変数である
　実際、この場合はxに依存せず的中確率=1/6である
　以上の通り、「見えないもの＝確率変数」は間違い
(引用終り)

・下記の2008年東工大 数学 第3問 ”いびつなサイコロ”ご参照
　この問題の全事象Ωは、”サイコロを2回ふったとき”
　Ω＝{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
　(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
　(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
　(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
　(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
　(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}で
　組合せ6x6の36通り、２次元で考える必要がある
　サイコロ1回だとΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　普通のサイコロだと確率は各1/6ですが、いびつサイコロだと確率p1,p2,p3,p4,p5,p6≠1/6 で扱う
・いま、簡単に箱一つ 正常なサイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱うとしてΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6
　一方数当ての人が唱える数が、1〜6のランダムとして、これを確率変数Yで扱うとしてΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6
　よって、的中は同じ数で揃った場合で、(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)の6通り 6＊1/36＝1/6で理論通り
・別に、数当ての人が唱える数が 1〜6だが偏りがあるとして p'1,p'2,p'3,p'4,p'5,p'6≠1/6(どれかは1/6ではないが 総和Σi=1〜6 p'i =1)
　とすると、確率 1/6*p'1+1/6*p'2+1/6*p'3+1/6*p'4+1/6*p'5+1/6*p'6
　＝1/6(p'1+p'2+p'3+p'4+p'5+p'6）＝1/6(つまり理論通り)
　サイコロが正常だと、数当ての人が唱える数に偏りがあっても、的中確率1/6
・さて、的中確率1/6に成らない場合がある
　例えば、偏ったサイコロで3が出やすく確率1/2とする。それを見抜いた数当ての人が唱える数が常に3なら的中確率1/2になる

よって、「箱一つ、サイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱う」として 矛盾はない！
(参考)
https://mine-kikaku.co.jp/index.php/2022/10/29/post-9074/
峰企画 2008年東工大 数学第3問20230227
第3問はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです

いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする
(1) P>=1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ
(2) 1/4>=Q>=1/2-3/2Pであることを示せ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/8

440: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/07/21(日) 15:50:20.80 ID:xkeS6vIP

>>439
>>１）”時枝正「代表列の対応する箱と中身が一致する箱を確率99/100で当てることができる」”
>>　で、”確率99/100は”きちんとした確率測度に基づく（含む 標本空間の測度1）
>>　確率計算になっていない
>Ω={1,2,・・・,100}であり、ランダム選択だから各根元事象に確率測度1/100を割り当てる。
>他のどの列より決定番号が大きい列はたかだか1列であり、その列を選んだ場合だけ負けだから勝率は99/100以上。
>きちんとした確率測度に基づく（含む 標本空間の測度1）確率計算になっている。

だから
１）>>434の通りで
繰り返すが、
Ω={1,2,・・・,100}のもとの
100列の決定番号
Ω’={d1,d2,・・・,d100}
が、問題
もっといえば、{d1,d2,・・・,d100}たちの分布が問題
　>>425に示したように、列長さが有限n個の列の場合に
Ω’={d1,d2,・・・,d100}の大小関係（特に max(d1,d2,・・・,d100)との大小関係）
を使った確率99/100なる主張が、不成立だと示した

２）もっと言えば、列長さが有限n個の列の場合で
　繰り返すが>>9より再録
　有限n個の箱の列が100列あり、それらの決定番号がd1,・・,d100 とする(各diで1≦di≦nである(i=1〜100))
　問題列 Si = (si1，si2，si3，・・，sin) とし
　代表列 Ri = (ri1，ri2，ri3，・・，rin) とする
　とすると、この二つの列は 決定番号の定義より di以降n番目までの箱の中の数が一致していることになる
　この二つの列 少なくともしっぽ同値類の定義より
　sin＝rinである
３）ここまでは良いだろう
　問題は、最後より一つ前の箱で sin-1＝rin-1 かどうか？
　もし、箱に任意実数r(簡便にr∈[0,1](区間[0,1]の実数))を入れるとすると
　sin-1＝rin-1となる確率は０（二つの実数がピタリと一致する確率は0）
　従って、列長さが有限n個の列の場合には
　しっぽ同値類の決定番号は、確率１でsin-1≠rin-1 であり
　よって、決定番号diは確率１でdi＝nとなる
　100列あっても、全て同じでdi＝nとなるので
　100個のdiの比較による大小から確率99/100を導く手法が破綻していることが分かる
４）さて、n→∞のときは、事情はもう少し複雑なのだが、同様になるのです
　その分かり易い説明が（>>434より再録）
　各di (i=1,・・,100) たちは、自然数全体を渡る
　自然数全体を渡るとき、集合 自然数Nは 数え上げ測度で→∞に発散するから
　非正則分布を成し、確率の公理 標本空間の測度が 1 を満たすことが出来ないのです
　だから、n→∞のときも 確率 99/100は、言えないってこと

(参考) >>7より再録
https://ai-trend.jp/basic-study/bayes/improper_prior/
AVILEN Inc. 2020
2020/04/14
非正則事前分布とは？〜完全なる無情報事前分布〜
ライター：古澤嘉啓
目次
1 非正則な分布とは？一様分布との比較
2 非正則分布は確率分布ではない！？
3 非正則事前分布は完全なる無情報事前分布
4 まとめ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/440

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