スレタイ箱入り無数目を語る部屋20

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531: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/07/28(日) 23:59:34.54 ID:/2XhxQ3f

>>8 補足
(引用開始)
2008年東工大 数学第3問20230227
第3問はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする
(1) P>=1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ
(2) 1/4>=Q>=1/2-3/2Pであることを示せ
mathclinic314.com/%E3%81%84%E3%81%B3%E3%81%A4%E3%81%AA%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%B3%E3%83%AD%E3%80%90%E4%B8%8D%E5%A4%89%E9%87%8F%E3%81%AB%E6%B3%A8%E7%9B%AE%E3%80%91%E3%80%902008%E5%B9%B4%E5%BA%A6-%E6%9D%B1%E4%BA%AC/
MathClinic
いびつなサイコロ【不変量に注目】【2008年度 東京工業大学ほか】
2021年8月3日
(1) について
k=1 , 2 , ⋯ , 6 として、k の目が出る確率を pk と設定します。
歪んでいようが、どれかの目は出るわけなので、
p1+p2+p3+p4+p5+p6=1
ということは言えるわけです。
コーシーシュワルツの不等式などが見えなかった場合
pk−1/6=qk  とおき
q1+q2+q3+q4+q5+q6=0
処理しようと思いました。
コーシーシュワルツの不等式に頼ることなく、解ききることができます。
mathclinic314.com/wp-content/uploads/2021/08/%E3%81%84%E3%81%B3%E3%81%A4%E3%81%AA%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%B3%E3%83%AD.pdf
(q1)^2+(q2)^2+(q3)^2+(q4)^2+(q5)^2+(q6)^2+1/6≧1/6
(引用終り)

<補足説明>
・さて、確率変数Xとの関係は
　確率変数X k→pk つまり 1→p1,2→p2,3→p3,4→p4,5→p5,6→p6
　正規のサイコロは、p1=p2=p3=p4=p5=p6=1/6です
　いびつなサイコロは、pk≠1/6（k=1〜6）もありうる
・pk−1/6=qkを考えているのは見事です
　設問(1)だけならば
　(p1-1/6)^2+(p2-1/6)^2+(p3-1/6)^2+(p4-1/6)^2+(p5-1/6)^2+(p6-1/6)^2
＝(p1)^2+(p2)^2+(p3)^2+(p4)^2+(p5)^2+(p6)^2-2(p1+p2+p3+p4+p5+p6)/6+6(1/6)^2
　（p1+p2+p3+p4+p5+p6=1 を使って）
＝(p1)^2+(p2)^2+(p3)^2+(p4)^2+(p5)^2+(p6)^2-2/6+1/6≧0
　つまり (p1)^2+(p2)^2+(p3)^2+(p4)^2+(p5)^2+(p6)^2≧1/6 が出る
　P＝(p1)^2+(p2)^2+(p3)^2+(p4)^2+(p5)^2+(p6)^2なので P≧1/6 がすぐ出る
追伸
・箱の中とか外とか関係ない！ サイコロなどの確率事象を扱うのが確率変数です！！
・「固定」？ なんですか それ？ｗ 「固定」で 東工大2008年解けますか？ｗｗｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/531

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