[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part436 (1002ﾚｽ)

高校数学の質問スレ Part436 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718662026/

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480: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/03(水) 12:47:04.92 ID:N72GHySw ↑PQ*↑STで2つのベクトル↑PQと↑STの内積を表すとする。 半径1の円周上を3点A,B,Cが動くとき、以下の最大値を求めよ。 （1）↑AB*↑AC （2）↑AB*↑AC+↑BA*↑BC+↑CA*↑CB http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718662026/480

483: １３２人目の素数さん [] 2024/07/03(水) 15:28:27.11 ID:w0BxYeXT >>480 ↑OA = a,　↑OB = b,　↑OC = c　とおく。 (1) ↑AB *↑AC = (b-a)*(c-a) = b*c - c*a - a*b + a*a 　= cos(2A) - cos(2B) - cos(2C) + 1 　= 2 cos(A) {cos(A)+cos(B-C)} − 2 cos(B-C) {cos(A)+cos(B+C)} 　= 2 cos(A) {cos(A)+cos(B-C)} − 4 cos(B-C) cos[(A+B+C)/2] cos[(A-B-C)/2] 　= 2 cos(A) {cos(A)+cos(B-C)} 　　　(← A+B+C=180°) 　< 4, 　　　A≒0,　B=C≒90°　のとき　≒4 (2) ↑AB*↑AC + ↑BC*↑BA + ↑CA*↑AB = 3 - b*c - c*a - a*b = 3 - cos(2A) - cos(2B) - cos(2C) = 4{1−cos(A)cos(B)cos(C)cos(A+B+C)} 　−4 sin(A)sin(B)sin(C)sin(A+B+C) −2 sin(A+B+C)^2 = 4{1 + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　(← A+B+C=180°) ≦ 4(1 + 1/8) 　　　　(*) = 9/2. *)　?ABCが鈍角三角形の場合は cos(A)cos(B)cos(C) <0 だから ΔABCは鋭角三角形(直角三角形)としてよい。　GM-AM不等式で 　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3 　≦ {cos((A+B+C)/3)}^3　　　　(← cosは上に凸) 　= cos(60°)^3 　= (1/2)^3 　= 1/8, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718662026/483

487: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/03(水) 18:14:09.94 ID:6z+xan68 >>480 御神託により (1) 4 (2) 9/2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718662026/487

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