高校数学の質問スレ Part436

[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part436 (1002ﾚｽ)
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406: イナ ◆/7jUdUKiSM  [sage] 2024/06/30(日) 15:52:27.26 ID:OlKV/NMW

>>376
訂正。計算間違い。[かっこ]が抜けてた。
底面が1辺aの正三角形で、高さがhの正三角錐の体積V(a)を微分し、
V'(a)=0を与えるaより題意の1/3=a+√(h^2+a^2/3)
(∵(2/3)(a√3/2)=a√3/3)
に代入しhの値が決まる。
V(a)=(1/3)(a^2√3/4)h=a^2h√3/12
1-3a=3√(h^2+a^2/3)
1-6a+9a^2=9h^2+3a^2
9h^2=6a^2-6a+1
h=(2a^2/3-2a/3+1/9)^(1/2)
V(a)=(a^2√3/12)(2a^2/3-2a/3+1/9)^(1/2)
V'(a)=0のとき(2a√3)(6a^2-6a+1)+(a^2√3)(12a-6)=0
12a^2-9a+1=0
a=｛9±√(81-48)｝/24=(9±√33)/24
aの値としてもっともらしいのは
a=(9-√33)/24
=3/8-√33/24
=0.1356432230……
h^2=2a^2/3-2a/3+1/9
=(2/3)(9a-1)/12-2a/3+1/9
=1/18-a/6
=1/18-(1/6)(3/8-√33/24)
=1/18-1/16+√33/144
=(√33-1)/144
h=√(√33-1)/12
=0.1815168083……
体積の最大値は
V((9-√33)/24)=[｛(9-√33)/24｝^2√3/12][｛2(9-√33)/24｝^2/3-2｛(9-√33)/24｝/3+1/9]^(1/2)
=0.0005646950……　　　　　　　　↑ かっこが抜けてたのはここ
　ちなみに6辺の長さは
(9-√33)/24が3辺と(√33-1)/24が3辺。

(9-√33)/24=0.1356432230……
(√33-1)/24=0.1976901102……

正四面体の場合、
(1/3)(1/6)^2(√3/4)√[(1/6)^2-｛(1/6)(√3/3)｝^2]
=0.0005456070……
微分=0を与える正三角錐のほうが正四面体よりわずかに大きい。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718662026/406

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