[過去ﾛｸﾞ] 数学の抽象化って抽象化ではないよな (96ﾚｽ)
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17: 2024/07/04(木)10:01 ID:y/IxkdLu(1/2) AAS
一般に、可換体$A$の部分集合$B$が$A$の四則に関して可換体をなしているとき、$B$は$A$の\textbf{部分体}であると言い、$A$は$B$の\textbf{拡大体}であると言います。$A$の任意の元$a$に対して$B$の元を係数とする0でない多項式$F(X)$で$F(a)=0$を満たすものが存在するとき、$A$は$B$の\textbf{代数拡大}であると言い、そうでない時は\textbf{超越拡大}であると言います。$\mathbb{C}(z)$は$\mathbb{C}$の超越拡大です。$\mathbb{C}$の超越拡大の例としては、不定元$X$の有理式の集合$\mathbb{C}(X)$もそうですし、$\mathbb{C}(z^2)$や$\mathbb{C}(e^z)$などもそうですが、これらの体としての代数的構造は皆同じです。その一方で、$n$個の不定元$X_1,X_2,\dots, X_n$の$\mathbb{C}$係数の有理式の集合$\mathbb{C}(X_1,X_2,\dots,X_n)$は$n$が違えば違う体です。例えば$\mathbb{C}(X_1,X_2)$は$\mathbb{C}(X_1)$という$\mathbb{C}$の超越拡大の$\mathbb{C}(X_1)(X_2)$という超越拡大になっています。

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18: 2024/07/04(木)10:10 ID:y/IxkdLu(2/2) AAS
$\mathbb{C}$の超越拡大$A$が$\mathbb{C}$の超越拡大の超越拡大を部分体として含まないとき、$A$は$\mathbb{C}$の超越次数1の拡大体であると言います。リューロー\footnote{J. L\"uroth, 1844-1910. ドイツの数学者.}は次を示しました(証明は[3]などを参照)。
\begin{theorem}可換体$A$が$\mathbb{C}$の超越次数1の拡大体であり、かつ$\mathbb{C}(X_1,X_2,\dots,X_n)$の部分体であれば、$\mathbb{C}(X_1,X_2,\dots,X_n)$の適当な元$f$に対して$$\hspace{-3cm}A=\mathbb{C}(f):=$$$$\left\{\frac{F(f)}{G(f)}; F(X), G(X)\in\mathbb{C}[X], G(X)\neq0\right\}$$となる。\end{theorem}

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