[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋19 (1002ﾚｽ)
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49: 2024/06/07(金)21:15 ID:Byt4nJxS(2/3) AAS
つづき
恒等的に0でない正則関数が無限個の零点を持つことがある(例: F(z)=sinz, z =nπ (n∈Z)) ことに注意しよう。
「F の零点が定義域内の点に集積したらF =0」ということである。
一致の定理は上の形で提示されるのが多いが、応用上は次の形で使うのが多い。
・D 内の線分や正則曲線の上でf =g が成り立つならば、f =g が成り立つ。
・D 内の空でない開集合内でf =g が成り立つならば、f =g が成り立つ。
この定理を証明する前に、この定理を使った例をいくつか見てみよう。
P12
正則関数の零点に関して、次の事実は重要である。
系21.10
C の領域D における正則関数は定数関数に等しくない限り、その零点は互いに孤立している。
すなわちc が定数でない正則関数f :D→Cの零点ならば、
(∃ε > 0)(∀z ∈ D ∩D(c;ε)＼{c}) f(z)≠ 0.
(十分小さな正数εを取ると、c から距離ε未満の範囲では、c 以外にf の零点はない。)
証明
略
P13
一致の定理から、f : C →C, g: C→C が正則で
(∀x ∈ R) f(x) =g(x)
を満たすならば、次式が成り立つ。
(∀z ∈ C) f(z) = g(z).
(引用終り)
以上
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