数学の本第98巻

[過去ﾛｸﾞ] 数学の本第98巻 (1002ﾚｽ)
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712: １３２人目の素数さん [] 2024/07/19(金) 17:02:06.41 ID:j90Px0SJ

定理２は以下です：

m 個の n 次元ベクトル a_j = (a_{ij}) (1 ≦ j ≦ m) が一次独立であるための必要十分な条件は、 m ≦ n かつ (n, m) 行列 A = (a_{ij}) の n 個の行から m 個の行をえらびだして作った m 次の行列式の中に ≠ 0 なるものが存在することである。

定理２の別証ですが、まず「強い意味で一次独立である」という用語を定義しています。

m ≦ n かつ (n, m) 行列 A = (a_{ij}) の n 個の行から m 個の行をえらびだして作った m 次の行列式の中に ≠ 0 なるものが存在するとき、 m 個の n 次元ベクトル a_j = (a_{ij}) (1 ≦ j ≦ m) は「強い意味で一次独立である」と定義しています。

a_1, …, a_m が強い意味で一次独立ならばそれらが一次独立であることは簡単に分かります。
佐武一郎さんは、 a_1, …, a_m が一次独立ならばそれらが強い意味で一次独立であることを証明しています。

このことを証明するために、(I), (II)を証明しています。

(I) a_1, …, a_r が強い意味で一次独立ならば、その一部分をとっても強い意味で一次独立である。
(II) a_1, …, a_r が強い意味で一次独立、 a_1, …, a_r, a_{r+1} が強い意味で一次独立ではないとすれば、 a_{r+1} は a_1, …, a_r の一次結合として一意的に表わされる。

そして、最後に、

(I)、(II)により、 {a_1, …, a_m} が任意に与えられた n 次元ベクトルの集合であるとき、その中から強い意味で一次独立なベクトルの極大集合 {a_{i_1}, …, a_{i_r}} をえらびだせば、任意の a_i (1 ≦ i ≦ m) は {a_{i_k}} (1 ≦ k ≦ r) に一次従属になる。よって特に a_1, …, a_m が一次独立であるとすれば、 r = m でなければならい。すなわち a_1, …, a_m は強い意味でも一次独立になる。（証終）

と書いています。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1710406925/712

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