[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
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246(3): 2024/01/27(土)15:32 ID:8mu8mYo+(20/20) AAS
243は文字小さいので再書き込みｗ
さて、シキタカK君に問題
（初級）リーマン積分の定義を書け
（中級）いかなる関数がリーマン可積分かその条件を書け
（上級）
１ ルベーグ積分の定義およびルベーグ可積分の条件を書け
２ さらにリーマン可積分でないがルベーグ可積分な関数を１つ挙げ
省4
252: 2024/01/28(日)06:49 ID:DigaRTeo(2/7) AAS
>>246
＞（初級）リーマン積分の定義を書け
積分区間を、任意の小区間の集まりに細分し、その中からそれぞれ１点をとる
その１点での関数の値と小区間の長さを掛けた値の和をとる
小区間の細分によって、和の値がある値に収束するとき、
その収束値が関数の区間でのリーマン積分の値である
（収束の定義にはもちろん小区間の長さの最大値δと範囲εに関するε‐δ論法を使う）
253(3): 2024/01/28(日)06:58 ID:DigaRTeo(3/7) AAS
>>246
＞（中級）いかなる関数がリーマン可積分かその条件を書け
実は252でリーマン可積分の条件書いちゃったので、
同値な条件を一つ書いておく
R^n の有界閉区間 I 上の有界関数 f: I → R に対し、
f が I 上リーマン可積分であることと、
f がほとんど至るところ連続であること（※）は同値
省1
254(2): 2024/01/28(日)07:03 ID:DigaRTeo(4/7) AAS
>>246
（上級）問題は残しておくわｗ
ただ、リーマン可積分でない関数の例だけ示してあげるねｗ
区間[0,1]について有理数の点で0、無理数の点で1となる関数
これは区間の至るところで不連続なのでリーマン可積分でない
一方以下の関数はリーマン可積分である
区間[0,1]について有理数の点で1-1/n (nは既約分数の分母)、無理数の点で1となる関数
省1
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