ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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877: １３２人目の素数さん [] 2024/05/12(日) 16:55:41.59 ID:qeZkOp9E

>>876 追加

https://tetobourbaki.はてなブログ.com/entry/2017/05/25/225620
記号の世界ゟ
20170525
微分ガロア理論の文献
微分ガロア理論に関する文献をまとめます. 微分ガロアに限らず, それを勉強するために必要な知識や, 関連する分野の文献もまとめます.

・微分ガロア理論の教科書
・入門的な文献
・無限次元ガロア理論
・Parametrized Picard-Vessiot 理論
・物理への応用
・Painleve方程式
・正標数・p進数・実数体
・常微分方程式
・代数幾何
・代数群

微分ガロア理論の教科書
西岡久美子, 微分体の理論
日本語の唯一の微分ガロア理論の本. Kolchin-Rittの理論に沿って書かれている. 応用の章ではPainleve方程式の既約性を扱っており, そのためにはKolchin-Rittの理論が必要なのである. 洋書と比べても非常に優れた本だと思うが, 最近のPicard-Vessiot理論を扱った本とはずいぶん違うので, 注意も必要

入門的な文献
微分ガロア理論を知りたいなら教科書よりも簡単な文献で全体像をつかむと良い. そのために役立つ文献を挙げる.

D. BertrandによるMagid, Lectures on differential Galois theoryのreview, BULLETIN OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY.
Magid本のレビューであるが, 微分ガロア理論の発展が解説されている.

無限次元ガロア理論
無限次元微分ガロア理論は Malgrange と梅村先生の二つの理論がある. これら二つの理論の能力が等しいことは梅村先生によって示されている. (フランス語の論文でしかも入手方法が分からないので読めない.) それぞれの理論の文献を挙げる.

Painleve方程式
Painleve方程式は既約性が長年の問題であり, その問題に対するアプローチとして微分ガロア理論が現れる. 既約の意味が論文によって違うので少し注意が必要.

パンルヴェ方程式の基本的な教科書として以下の二冊を挙げておく.
・岡本和夫, パンルヴェ方程式
・K. Iwasaki, H. Kimora, S. Shimomura, M. Yoshida, From Gauss to Painleve

無限次元微分ガロア理論の準備としても以下の３つの文献は役に立つ.
・梅村　浩, Painleve 方程式の既約性について, 1987.
・梅村　浩, Painleve 方程式と古典関数, 1995.
・梅村　浩, Painleve 方程式の100年, 1999.

正標数・p進数・実数体
・M. van der Put, Differential equations in characteristic p, 1995.
グロタンディーク予想をモチベーションとして正標数の微分体上の微分ガロア理論を考察している. この段階でPicard-Vessiot拡大の一意性まで言えていないようであるが, 淡中圏を用いて様々な結果を得ている.

代数幾何
微分ガロア理論を勉強する上で代数幾何が必要となるのには二つの理由がある. 一つは微分代数は微分多項式の零点を研究する分野と見ることができ, その意味で代数幾何の一般化であること. Ritt-Kolchinの理論はそのような問題意識があり, Picard-Vessiot理論では代数幾何の定理が必要となることが時々ある. 二つ目は, 微分ガロア群は代数群であり, 代数群を理解するには代数幾何が必須であることである.　あと, 梅村先生の微分ガロア理論を理解するには代数幾何は前提である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/877

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