ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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712: １３２人目の素数さん [] 2024/05/10(金) 11:14:39.32 ID:Wp42F/rf

>>698
(引用開始)
志村五郎は、著書で
「（数論志望以外の）大学生にガロア理論を教えても仕方ない　表現論教えたほうがいい」
と書いてました
表現論は数学科以外の学生にも有意義でしょうからね
ただ、いまだにそうはなってないようですけど
(引用終り)

・志村五郎先生のお話は、数学漫談としては面白いかもしれませんが
　まじめに受け取らない方がよさそうに思います
・まず、現実に ガロア理論 は、多くの大学教程で教えられている
　（例 東京女子大 大阿久 俊則（下記））
・思うに、ガロア理論を教える意義は
　１）抽象代数学の原点（ここから抽象代数学がはじまった）
　２）ガロア理論を学べば、群や体論をより深く理解できる
　３）ガロア理論をモデルとした数学の理論が多数発展した（ガロア理論がひな形）
　など。これを、教える側も期待していると思われる
・なお、”ガロア理論”は ”ちまた”でも人気がありまして
　いまなお、いろんな解説書（非数学科向けも）が出て、それなりに商売になっているようです ；ｐ）
・数学科出身を名乗ったら、「ガロア理論 わかりません」も言いにくいでしょうし・・ｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%97%E6%9D%91%E4%BA%94%E9%83%8E
志村 五郎（しむら ごろう、1930年〈昭和5年〉2月23日[1] - 2019年〈令和元年〉5月3日[2]）は、日本出身の数学者[1]。プリンストン大学名誉教授[2]。専門は整数論。静岡県浜松市出身

https://www.lab.twcu.ac.jp/~oaku/index_jp.html
大阿久 俊則 (おおあく としのり)
東京女子大学名誉教授（元数理科学科教授）
専門：代数解析学
講義録（学部）
12.ガロア理論入門, 「ガロア理論入門」演習問題解答,
https://www.lab.twcu.ac.jp/~oaku/galois.pdf
はじめに
5次以上の代数方程式の根の公式は存在しないが，個々の方程式の根を（四則演算と根号を用いて）具体的に表せる場合もある．フランスのガロアは年の遺稿の中で，与えられた方程式の根が四則演算と根号を用いて表示できるための必要十分条件を，方程式に付随した群（群と呼ばれる）の性質を用いて与えた．そのために体とその拡大の概念を導入した．これがガロア理論の原型である．体の拡大と群との対応を記述することがガロア理論の本質であり，代数方程式の可解性の問題は（歴史的には重要であったが現在では）その応用の１つに過ぎない．この講義では，ガロア理論の基本的な部分を群，環，体などの現代の代数学の言葉を用いて解説する．体としては複素数体の部分体（古典的な場合と呼ばれる）を主に扱う．なお，「環と加群の基礎」の内容，特に単項イデアル整域についての事項は既知として自由に用いるので，必要に応じて参照してください．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/712

717: １３２人目の素数さん [] 2024/05/10(金) 11:38:37.03 ID:Wp42F/rf

>>698
(引用開始)
志村五郎は、著書で
「（数論志望以外の）大学生にガロア理論を教えても仕方ない　表現論教えたほうがいい」

・表現論ね
　表現論として、何を教えるのか？
・（下記）”ガロア理論と表現論-ゼータ関数への出発, 黒川信重 (2014), 日本評論社”
　など、黒川氏の視点では、ガロア理論と表現論は対立関係には ないように見えます
（この本は、書店にあったような気もするが・・、中身を見た記憶がないです）

(参考)
//ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96
表現論（ひょうげんろん、英: representation theory）とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することで代数構造上の加群を研究する数学の一分野である[1]。本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を行列と行列の和や行列の積で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象には、群や結合代数やリー代数がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた群の表現論であり、群の演算が行列の積で、群の要素が正則行列で表現されている[2]。

表現論は、抽象代数学の問題を良く理解されている線型代数の問題へと帰着させるので、強力なツールである[3]。さらに、群が表現されているベクトル空間が無限次元になることやヒルベルト空間になることも可能であり、その場合、函数解析の方法が群の理論へ適用可能となる[4]。表現論は物理学でも重要であり、例えば、物理系の対称群が、どのように物理系を記述する方程式の解へ影響するかを記述する[5]。

表現論の著しい特徴は、数学での広がりにある。そこには、2つの面がある。ひとつの面は、表現論の応用が多岐にわたっていることであり[6]、表現論は代数への影響のみならず、以下のような応用も持っている。

調和解析を通してフーリエ解析を広く一般化する[7]
不変式論（英語版）とエルランゲン・プログラムを通して深く幾何学とつながっている[8]。
さらに、数論へは保型形式やラングランズ・プログラムを通して深く影響を持っている[9]。
もうひとつの面は、表現論へのアプローチの広がりである。同じ対象が代数幾何学、加群の理論、解析的整数論、微分幾何学、作用素理論、代数的組み合わせ論（英語版）(algebraic combinatorics)、トポロジーの方法で研究できる[10]。

表現論の成功は、多くの一般化を生み出した。その一般的な理論は圏論の中にある[11]。適用する代数的対象を特別な圏として、対象のなす圏からベクトル空間の圏（英語版）(category of vector spaces)への函手を表現とみなすことができる。この記述には 2つの明白な一般化がある。ひとつは代数的対象をより一般的な圏により置き換えることが可能であり、第二には、ベクトル空間のなす圏を別の良く知られた圏に置き換えることが可能である。

参考文献
和書
・ガロア理論と表現論-ゼータ関数への出発, 黒川信重 (2014), 日本評論社, ISBN 978-4-535-78589-2.
・平井武・山下博、表現論入門セミナー -- 具体例から最先端にむかって、遊星社。
・岩堀長慶、対称群と一般線形群の表現論、岩波講座基礎数学、 岩波書店。

//en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory
Representation theory

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/717

754: １３２人目の素数さん [] 2024/05/10(金) 23:46:32.12 ID:ur5X/sPV

>>748
744です
なんかゴールポストを動かしているなｗ

１）そもそもは、>>698”志村五郎は、著書で
「（数論志望以外の）大学生にガロア理論を教えても仕方ない　表現論教えたほうがいい」
　と書いてました”だった
２）では、志村五郎のいう ガロア理論の代わりに教える「表現論」はどんなものなのか？
　それは、当然”ピーター・ワイルの定理”>>748ではないよねｗｗ
　もっと一般のいわゆる「表現論」です（下記 wikipedeiaのような）
　要するに、抽象的代数理論の群や環を、具体的なベクトル空間の線型変換、つまりは行列によって表現するものだ（下記）
　（志村氏は、それが（数論志望以外の）大学生にも、役立つ理論と考えたのだろう）
３）さて、比喩として一般相対性理論を考えてみよう
　一般相対性理論は、ニュートン力学を含みその一般化である
　しかし、地球における日食が月食、あるいは太陽から遠い彗星の軌道計算などに、一般相対性理論を持ち出す人はいない（ニュートン力学で十分だ）
４）と同様に、周期表やd（電子）軌道の説明に、志村氏のいう（抽象的な）「表現論」から始める人はいない！(>>732に記した通りです)
　周期表やd（電子）軌道の説明は、一般相対性理論に対するニュートン力学と同様に、もっと具体的なレベルから始める方が良いってこと

再度記すが、周期表やd（電子）軌道の説明に、志村氏のいう（抽象的な）「表現論」から始める人はいない
志村氏のいう（抽象的な）「表現論」とは、直結していない

(参考)
//ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96
表現論
表現論（英: representation theory）とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することで代数構造上の加群を研究する数学の一分野である[1]。本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を行列と行列の和や行列の積で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象には、群や結合代数やリー代数がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた群の表現論であり、群の演算が行列の積で、群の要素が正則行列で表現されている[2]。

定義と概念
V を体 F 上のベクトル空間とする[3]。例えば、V が Rn や Cn のときは、それぞれ、実数や複素数上の列ベクトルの標準的な n-次元空間である。この場合、表現論の考え方は、抽象的な代数構造を実数や複素数の n × n 行列を使って具体化することである。

このことが可能な主要な代数的対象は 3種類あり、群, 結合代数、リー代数である[12]。
・n × n の正則行列（可逆行列）全体は、行列の積の下に群をなし、群の表現論は、群の元を正則行列として「表現」することにより（群自体を）調べることができる。
・行列の和と積は、すべての n × n の行列の集合を結合代数とし、したがって、対応する結合代数の表現論(representation theory of associative algebras)が存在する。
・行列の積 MN を行列の交換子 MN − NM に置き換えると、n × n の行列のリー代数となるので、リー代数の表現論が導かれる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/754

764: １３２人目の素数さん [] 2024/05/11(土) 08:11:24.65 ID:k0FyGno+

>>757-756
>>なんかゴールポストを動かしているな
>君がゴールを勘違いしてるだけ

ゴールを勘違いしているのは君だよ
１）再録>>754より
　”そもそもは、>>698”志村五郎は、著書で
「（数論志望以外の）大学生にガロア理論を教えても仕方ない　表現論教えたほうがいい」
　と書いてました”だった
　では、志村五郎のいう ガロア理論の代わりに教える「表現論」はどんなものなのか？
　それは、当然”ピーター・ワイルの定理”>>748ではないよねｗｗ
　もっと一般のいわゆる「表現論」です（下記 wikipedeiaのような）
　要するに、抽象的代数理論の群や環を、具体的なベクトル空間の線型変換、つまりは行列によって表現するものだ（下記）
　（志村氏は、それが（数論志望以外の）大学生にも、役立つ理論と考えたのだろう）”
２）さて、上記についてガロア理論で説明しよう
　3次方程式の解法にカルダノの方法がある（下記）
　3次方程式の解法に特化した説明に、一般ガロア理論から始める人はいない
　実際、3次方程式の解法は、ガロア以前に解かれていた
　歴史の示すところ、3次方程式や4次方程式の延長線上に、一般5次方程式の解法を探索することから
　ガロアは、いわゆる第一論文に到達した
　現代の代数学のガロア理論は、第一論文を含むより一般化した体の拡大と群との対応の理論だ
　ガロアが第一論文で示しているように、3次方程式の解法も彼の理論から説明できる
　しかし、繰り返すが、3次方程式の解法に特化した説明に、一般ガロア理論から始める人はいない！
３）同様に、周期表やd（電子）軌道の説明に、志村氏のいう（抽象的な）「表現論」から始める人はいない！(>>732に記した通りです)
　周期表やd（電子）軌道の説明は、一般ガロア理論に対する3次方程式の解法と同様に、もっと具体的なレベルから始める方が良いってこと

再度記すが、周期表やd（電子）軌道の説明に、志村氏のいう（抽象的な）「表現論」から始める人はいない
志村氏のいう（抽象的な）「表現論」とは、直結していない（>>754の通り）
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
三次方程式
カルダノの方法
一般の三次方程式の代数的解法は、カルダノの方法あるいはカルダノの公式として知られている
歴史
古代バビロニアでは、数表を用いて三次方程式の解の近似値を得ていた
三次方程式の代数的解法は、16世紀頃にボローニャ大学のシピオーネ・デル・フェッロによって発見されたとされる。デル・フェロの解いた三次方程式は
x3 + a1 x = a0 (a1 および a0 は正）
という形の物である
三次方程式の解法があるという噂を元にタルタリアは、独力かどうかは分からないが
x3 + a2 x2 = a0 (a2 および a0 は正）
の形の三次方程式を解くことに成功し、さらにはデル・フェロの三次方程式の解法にも辿り着いた
タルタリアが三次方程式の代数的解法を知っていると聞いたカルダノはタルタリアに頼み込み、三次方程式の代数的解法を聞き出すことに成功した。カルダノは、弟子のルドヴィコ・フェラーリが得た、一般的な四次方程式の代数的解法と併せて、三次方程式の代数的解法を出版したいと考えるようになった

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/764

834: １３２人目の素数さん [] 2024/05/12(日) 09:00:57.40 ID:qeZkOp9E

>>764
戻る

１）再録>>754より
　”そもそもは、>>698”志村五郎は、著書で
「（数論志望以外の）大学生にガロア理論を教えても仕方ない　表現論教えたほうがいい」
　と書いてました”だった
　では、志村五郎のいう ガロア理論の代わりに教える「表現論」はどんなものなのか？
　それは、当然”ピーター・ワイルの定理”>>748ではないよねｗｗ
　もっと一般のいわゆる「表現論」です（下記 wikipedeiaのような）
　要するに、抽象的代数理論の群や環を、具体的なベクトル空間の線型変換、つまりは行列によって表現するものだ（下記）
　（志村氏は、それが（数論志望以外の）大学生にも、役立つ理論と考えたのだろう）”
　同様のことを、中島 啓氏も書いている
　名古屋大 柳田伸太郎先生が、数理科学展望I で、下記”量子力学の話題を動機とした Lie群とLie環の表現論の入門的説明”をしているので参考になるだろう
２）では、名古屋大では上記志村氏の通り、「（数論志望以外の）大学生にガロア理論を教えても仕方ない　表現論教えたほうがいい」
　を実行しているのか？　そうではないよね
　では、”数論志望以外の）大学生にガロア理論を教え”る効用とは何か？
　それはいろいろあるのでしょうね
　詳しくは無いが、一例は下記「ソリトン方程式とKac-Moodyリー環」柏原他
　冒頭、”Galoisの視点を,微分方程式に適用する試みの中から,リー群,リー環の概念は生まれた.線型微分方程式を,この立場で研究するものとして,Picard-Vessiot理論があり,そこに現われる群は,有限次元Lie群である”
　と始る（このソリトン方程式の理論は、微分方程式のGalois理論でもあり、リー群,リー環の表現論でもあると言えるかも）
　また、「ガロア理論とその発展」玉川安騎男（下記）では、グロタンディークの
　”現在の代数幾何学・数論幾何学”、”遠アーベル幾何”の話があり
　”１９世紀前半に生まれたガロア理論は、現代もなお強い生命力を持って進化しています”と結ばれる

結論として、a)ガロア理論、b)表現論、 a) or b)の二択問題 という 志村五郎氏の問題設定が時代遅れってことでしょうね
なお、余録で 中村 幸四郎先生の「ガロア理論の推移史について」がヒットしたので、貼っておきます
（デデキントのガロア理論講義の話が興味深い）
　
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96
表現論（英: representation theory）とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することで代数構造上の加群を研究する数学の一分野である[1]。

https://www.ipmu.jp/sites/default/files/2024-03/monoshiri-17.pdf
中島 啓 - Kavli IPMU
2024/03/30 — 理論物. 理学に起源を持つゲージ理論の数学的なアプローチと、その表現論への ... ヤング図形. です。 ヤコビの. 三重積公式。 この ... ゲージ理論. クォーク.
表現論
数学では、あるものを行列で表すことを「表現」と呼ぶ。表現論は、あるものを行列
でどのように表すことができるのか考えたり、複数の表し方があったときにその間
にどのような関係があるのかを調べたりする数学の分野だ。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/834

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