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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/
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544: １３２人目の素数さん [] 2024/02/17(土) 12:26:27.09 ID:ZkaCY50W さて、前振りはこの程度にして、問題に戻る >>308より 上関数と下関数の差がε未満になる範囲の ジョルダン外測度とジョルダン内測度の差が0になる、 そのときに限りリーマン可積分 >>439より 308は >上関数と下関数の差がε未満になる範囲の >ジョルダン外測度とジョルダン内測度の差が0になる、 >そのときに限りリーマン可積分 のように ジョルダン測度を使って条件を述べようとしているが これは西谷流に反しているのでは？ (引用終り) だった。さて １）いま、>>541 桂田 Jordan測度の定義では 図形Ωの特性関数(characteristicfunction)χΩの（リーマン）積分で、Jordan測度を定義している また”Jordan可測(n-dimensionalJordanmeasurable)とは、積分∫A χΩ(x)dxが存在することと定義する” とある（特性関数とは、その部分集合上で1,補集合上で0となる関数のこと） ２）つまり、Jordan測度がリーマン積分で定義され その積分は 特性関数χΩ （の部分集合上で1,補集合上で0となる関数）に、限られる 例えば、区間[0,1]の有理数で1、実数で0（ディリクレ関数）の図形は Jordan非可測 しかし、トマエ関数で 有理数p/qでは1/q とすれば、トマエ関数はリーマン可積分 ３）つまり、リーマン可積分の方が Jordan可測の方が概念として広いことになる つまり、”ジョルダン外測度とジョルダン内測度の差が0になる”は Jordan可測を意味するが 「そのときに限りリーマン可積分」は、外れ（アウト）ですね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/544
545: １３２人目の素数さん [] 2024/02/17(土) 12:38:46.99 ID:ZkaCY50W >>544 >西谷流に反しているのでは？ 西谷流は、下記ですね (参考) >>305より http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/ 西谷達雄,Department of Mathematics Osaka University http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/Lebesgue.pdf Lebesque積分 講義録 P2 序 積分の一般論の構成方法としては，一般的には，Lebesgue方式とDaniell方式の２通りの方法がある．Lebesgue方式(1902)では公理論的な測度論から出発し，そこから積分論を導く，という方法をとる． 一方Daniell方式(1918)では，基本関数族の上における基本積分の概念から出発し，まず積分論を構成し，積分論から測度理論を導く，という方法をとる． ここではDaniell方式に従ってLebesgue積分論を解説することにする． http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/545
546: １３２人目の素数さん [] 2024/02/17(土) 15:17:13.17 ID:ZkaCY50W >>544 補足 > 図形Ωの特性関数(characteristicfunction)χΩの（リーマン）積分で、Jordan測度を定義している > また”Jordan可測(n-dimensionalJordanmeasurable)とは、積分∫A χΩ(x)dxが存在することと定義する” > とある（特性関数とは、その部分集合上で1,補集合上で0となる関数のこと） 下記、”A bounded set is Jordan measurable if and only if its indicator function is Riemann-integrable, and the value of the integral is its Jordan measure.[1]” ですね (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Peano%E2%80%93Jordan_measure Peano–Jordan measure Extension to more complicated sets It turns out that all rectangles (open or closed), as well as all balls, simplexes, etc., are Jordan measurable. Also, if one considers two continuous functions, the set of points between the graphs of those functions is Jordan measurable as long as that set is bounded and the common domain of the two functions is Jordan measurable. Any finite union and intersection of Jordan measurable sets is Jordan measurable, as well as the set difference of any two Jordan measurable sets. A compact set is not necessarily Jordan measurable. For example, the fat Cantor set is not. Its inner Jordan measure vanishes, since its complement is dense; however, its outer Jordan measure does not vanish, since it cannot be less than (in fact, is equal to) its Lebesgue measure. Also, a bounded open set is not necessarily Jordan measurable. For example, the complement of the fat Cantor set (within the interval) is not. A bounded set is Jordan measurable if and only if its indicator function is Riemann-integrable, and the value of the integral is its Jordan measure.[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Indicator_function In mathematics, an indicator function or a characteristic function of a subset of a set is a function that maps elements of the subset to one, and all other elements to zero. That is, if A is a subset of some set X, then {1}_{A}(x)=1 if x∈ A, and {1} _{A}(x)=0 otherwise, where {1} _{A} is a common notation for the indicator function. Other common notations are I_{A}, and χ_{A}. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%B8%AC%E5%BA%A6 ジョルダン測度 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/546
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