ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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539: １３２人目の素数さん [] 2024/02/17(土) 11:18:39.42 ID:ZkaCY50W

つづき（関連部分追加）

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/kaisekigairon2-part1.pdf
解析概論II第1部(多変数関数の積分)桂田祐史2005年12月6日 明治大

P11
定義1.1.3(閉方体のJordan測度)Rnの閉方体A=[a1,b1]×[a2,b2]×···×[an,bn]のn次元ジョルダンJordanそくど測度(n-dimensionalJordanmeasure)を(b1−a1)(b2−a2)···(bn−an)と定め、記号µ(A)で表す: µ(A) def. =(b1−a1)(b2−a2)···(bn−an).
1次元Jordan測度は長さ、2次元Jordan測度は面積(area)、3次元Jordan測度は体積(volume)になっていることが分かる。
すなわちJordan測度というものは長さ、面積、体積の拡張概念である。
ここでは閉方体に対してのみJordan測度を定義したが、後でより一般の図形に対してJordan測度を定義する。

P12
定義1.1.4(下限和、上限和)
略す

1.1.2分割の細分
略す

P15
1.1.3下積分,上積分,積分可能性,積分の定義
定義1.1.7(有界関数の閉方体上の下積分、上積分)
略す

定義1.1.8(閉方体上のRiemann積分の定義)
略す

P16
注意(3)ここで定義した積分は詳しくはRiemann1積分と呼ばれる。ルベーグLebesgue2積分と呼ばれる、より一般の積分もあり、3年生で学ぶ。性質の良い関数、積分範囲について二つの積分は一致する。蛇足: Lebesgue積分の方がより性質の悪い関数、積分範囲を扱うことが出来る(例えば、すぐ後で紹介する無理数と有理数で場合分けした関数も、Lebesgue積分としては積分可能になる)。さらに項別積分などの極限と積分の順序交換が比較的楽にできるという長所を持つ。もともと積分の定義が深く研究されるようになったのは、Fourier級数などの解析学上の問題がきっかけである。「任意の関数は、積分を用いて定義されるFourier係数で作られたFourier級数で表現できる」という言明を正当化する過程で、関数の定義、積分の定義を突き詰めて考える必要が生じた。なお、Lebesgue積分について独習したい人には、志賀[9],新井[1]、授業の参考書としては伊藤[2]、歴史的なところに興味がある人には、もちろんルベーグ[29],それと見過ごされやすそうな3吉田[26]を勧める。

P17
1.1.4積分可能性条件以下しばらくどういう場合に積分可能か?という問題を考える。
定理1.1.1(積分可能であるための必要十分条件)AをRnの閉方体、f:A→Rを有界関数とするとき、
fがAで積分可能⇐⇒(∀ε>0)(∃∆:Aの分割)s.t.U(f,A,∆)−L(f,A,∆)≤ε.
証明
略す

与えられた関数が積分可能であるための、具体的な十分条件としては「関数が連続である」というのがある。これを次に示そう(後で、より一般化したシャープな定理を紹介する)。
定理1.1.2(閉方体上の連続関数は積分可能である)AをRnの閉方体、f:A→Rを連続関数とするとき、fはAで積分可能である。証明 AはRnの有界閉集合であるから(コンパクト集合であり)、その上で定義された連続関数fは次の性質を持つ。
略す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/539

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