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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/
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519: １３２人目の素数さん [sage] 2024/02/09(金) 19:46:39.82 ID:nxQ27BqK >>517 >定義1.2.1(Jordan可測集合) >ΩをRnの有界集合とする。 >Ωがn次元Jordan可測(n-dimensionalJordanmeasurable)とは、 >積分∫A χΩ(x)dxが存在することと定義する。 >ここで >(1)AはΩ￣⊂A◦となる閉方体。 >(記号の復習:Ω￣はΩの閉包、A◦はAの内部を表す。) >(2)χΩはΩの特性関数。すなわちχΩ(x):= 1 (x∈Ω), 0 (x∈Ω)である。 >このとき >µn(Ω)=µ(Ω):= ∫A χΩ(x)dx >をΩのn次元Jordan測度(n-dimensional Jordan measure)と呼ぶ。 で、君、なぜこれをコピペしない？ 定義 1.3.1 (Jordan 零集合) Rn の部分集合 Ω に対して、Ω が Jordan 零集合であるとは、 (i)Ω は有界 Jordan 可測で Jordan 測度は 0 である。 上の命題の の条件が成り立つことと定義する。 またこのことを単に µ(Ω) = 0 とも書く。 命題 1.3.1 Ω を Rn の部分集合とするとき、次の (i), (ii) は互いに同値である。 (i) Ω が Jordan 零集合である (ii) (∀ε > 0) (∃{Aj}(j=1~l)) s.t. 各 Aj は Rn の閉方体, Ω ⊂∪(j=1~l)Aj,?(j=1~l)µ(Aj ) ≤ ε. 定義 1.3.2 (Lebesgue 零集合) Ω を Rn の部分集合とする。 Ω が Lebesgue 零集合 (null set) def. ⇔ (∀ε > 0) (∃{Aj}(j=1~∞)) s.t.（Aj は閉方体または ∅ (j ∈ N), Ω ⊂∪(j=1~∞)Aj,?(j=1~∞)µ(Aj ) ≤ ε. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/519
520: １３２人目の素数さん [] 2024/02/09(金) 19:49:15.41 ID:nxQ27BqK >>519 命題 1.3.7 (Jordan 零集合と Lebesgue 零集合の関係) (1) Rn の任意の Jordan 零集合は Lebesgue 零集合である。 (2) Rn の任意のコンパクト Lebesgue 零集合は Jordan 零集合である。 命題1.3.1を認めるなら、命題1.3.7の(1)は明らかである なぜなら (∀ε > 0) (∃{Aj}(j=1~l)) s.t. 各 Aj は Rn の閉方体, Ω ⊂∪(j=1~l)Aj,?(j=1~l)µ(Aj ) ≤ ε. ⇒(∀ε > 0) (∃{Aj}(j=1~∞)) s.t.（Aj は閉方体または ∅ (j ∈ N), Ω ⊂∪(j=1~∞)Aj,?(j=1~∞)µ(Aj ) ≤ ε. だから そして(2)は、コンパクトの定義 (任意の開被覆は有限部分被覆を持つ)から (∀ε > 0) (∃{Aj}(j=1~∞)) s.t.（Aj は閉方体または ∅ (j ∈ N), Ω ⊂∪(j=1~∞)Aj,?(j=1~∞)µ(Aj ) ≤ ε.の ∞のところをある自然数lに置き換えられるので、これまた明らかである さて、Oops!君、命題 1.3.1が証明できるかな？ 命題 1.3.1 Ω を Rn の部分集合とするとき、次の (i), (ii) は互いに同値である。 (i) Ω が Jordan 零集合である (ii) (∀ε > 0) (∃{Aj}(j=1~l)) s.t. 各 Aj は Rn の閉方体, Ω ⊂∪(j=1~l)Aj,(j=1~l)µ(Aj ) ≤ ε. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/520
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