[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/

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517: １３２人目の素数さん [] 2024/02/09(金) 17:00:31.05 ID:3RLhARqe つづき 定義1.2.1(Jordan可測集合)ΩをRnの有界集合とする。 Ωがn次元Jordan可測(n-dimensionalJordanmeasurable)とは、 積分∫A χΩ(x)dxが存在することと定義する。ここで (1)AはΩ⊂A◦となる閉方体*a。 (2)χΩはΩの特性関数。 　すなわちχΩ(x):= 1 (x∈Ω), 0 (x∈Ω)である。 　このときµn(Ω)=µ(Ω):= ∫A χΩ(x)dx 　をΩのn次元Jordan測度(n-dimensional Jordan measure)と呼ぶ。 (*a記号の復習:ΩはΩの閉包、A◦はAの内部を表す。) 例1.2.1 例1.1.5のfはΩ:=[0,1]∩Qの特性関数である。fは積分可能でないので、ΩはJordan可測ではない。 (P15より再録 例1.1.5(積分可能でない関数の例(Dirichletの関数))A=[0,1],f:A→Rを f(x)= 1 (x∈A∩Q), 0 (x∈A＼Q) で定めると、Aの任意の分割∆に対してL(f,A,∆)=0,U(f,A,∆)=1であることが容易に分かるから、 L(f,A)=0,U(f,A)=1.ゆえにfはAで積分可能ではない。) P23 定義1.2.2(Jordan可測集合上の積分の定義)ΩをRnの有界でJordan可測な部分集合で、f:Ω→Rは有界関数とする。 このときfがΩで積分可能(または可積分)であるとは、Ω￣⊂A◦なるRnの閉方体Aを取って f˜(x) def. = f(x) (x∈Ω), 0 (x∈A／Ω) で f˜を定めるとき、 f˜がAで積分可能となることをいう。 このときfのΩ上の積分∫Ω f(x)dxを ∫Ω f(x)dx def. = ∫A f˜(x)dxで定める。 注意1.2.4 この積分の定義によれば、Rnの有界Jordan可測集合のJordan測度µ(Ω)は∫Ω 1dx (同じものを∫Ω dxとも書く)とも表せることになる。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/517

519: １３２人目の素数さん [sage] 2024/02/09(金) 19:46:39.82 ID:nxQ27BqK >>517 >定義1.2.1(Jordan可測集合) >ΩをRnの有界集合とする。 >Ωがn次元Jordan可測(n-dimensionalJordanmeasurable)とは、 >積分∫A χΩ(x)dxが存在することと定義する。 >ここで >(1)AはΩ￣⊂A◦となる閉方体。 >(記号の復習:Ω￣はΩの閉包、A◦はAの内部を表す。) >(2)χΩはΩの特性関数。すなわちχΩ(x):= 1 (x∈Ω), 0 (x∈Ω)である。 >このとき >µn(Ω)=µ(Ω):= ∫A χΩ(x)dx >をΩのn次元Jordan測度(n-dimensional Jordan measure)と呼ぶ。 で、君、なぜこれをコピペしない？ 定義 1.3.1 (Jordan 零集合) Rn の部分集合 Ω に対して、Ω が Jordan 零集合であるとは、 (i)Ω は有界 Jordan 可測で Jordan 測度は 0 である。 上の命題の の条件が成り立つことと定義する。 またこのことを単に µ(Ω) = 0 とも書く。 命題 1.3.1 Ω を Rn の部分集合とするとき、次の (i), (ii) は互いに同値である。 (i) Ω が Jordan 零集合である (ii) (∀ε > 0) (∃{Aj}(j=1~l)) s.t. 各 Aj は Rn の閉方体, Ω ⊂∪(j=1~l)Aj,?(j=1~l)µ(Aj ) ≤ ε. 定義 1.3.2 (Lebesgue 零集合) Ω を Rn の部分集合とする。 Ω が Lebesgue 零集合 (null set)　def. ⇔ (∀ε > 0) (∃{Aj}(j=1~∞)) s.t.（Aj は閉方体または ∅ (j ∈ N), Ω ⊂∪(j=1~∞)Aj,?(j=1~∞)µ(Aj ) ≤ ε. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/519

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