ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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481: １３２人目の素数さん [] 2024/02/06(火) 16:30:21.28 ID:waUghugl

つづき

ルベーグ測度を μで表すことにすればユークリッド空間の有界集合 Aに対して以下が成り立つことが知られている[6]
m_*(A)=μ(A^〇),m^*(A)=μ(A￣)これにより、有界集合がジョルダン可測となるための必要十分条件はその境界がルベーグ測度零となることであることが従う（有界集合の境界はコンパクトであるから、さらに「境界がジョルダン測度零となること」と言い換えてもよい）。
またルベーグ内測度、ルベーグ外測度、を
μ_*,μ^*で表すことにすれば
m_*(A) ≤ μ_*(A) ≤ μ^*(A) ≤ m^*(A)が成り立つこともすぐに分かる[7]。従ってジョルダン可測な有界集合はルベーグ可測である。しかし逆は成り立たない。
(引用終り)

２）上記”有界集合がジョルダン可測となるための必要十分条件は、その定義函数がリーマン可積分となることである[5]”とある
　さて、下記 en.wikipediaで同様に”A bounded set is Jordan measurable if and only if its indicator function is Riemann-integrable, and the value of the integral is its Jordan measure.[1]”とある
　indicator function en.wikipediaなどで”For example, the Dirichlet function is the indicator function of the rational numbers as a subset of the real numbers.”
　指示関数 集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である との記述あり

３）まとめると、”有界集合がジョルダン可測となるための必要十分条件は、その定義函数がリーマン可積分となることである[5]”
　”A bounded set is Jordan measurable if and only if its indicator function is Riemann-integrable, and the value of the integral is its Jordan measure.[1]”
　から、有界集合のジョルダン可測性は、”if and only if its indicator function is Riemann-integrable”で決まる
　そもそも、ジョルダン測度はリーマン積分説明のために考えられたはずだが、ジョルダン測度は現代的な視点からは不完全だった
　だから、ジョルダン可測性が”its indicator function is Riemann-integrable”で説明される
４）さらに、Indicator function en.wikipedia ”For example, the Dirichlet function is the indicator function of the rational numbers as a subset of the real numbers.”
　とあるから、トマエ関数のような場合は Indicator functionとしては the Dirichlet function が the indicator function なので、扱えないと思われる

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/481

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