ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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456: １３２人目の素数さん [] 2024/02/05(月) 11:55:50.94 ID:G51s8wzo

つづき

ところが,2よりほんの少しでも大きな指数については,同様の近似分数が無数に存在するとは限らない.
詳しくいえば,を任意の正の実数とするとき,
|x−p/q| < 1/q^2+εをみたす既約分数p/qが無数に存在するような数xの集合は,ルベーグ測度の意味で零集合になってしまう.
この理由により,εを任意の正の数として, xが有理数のときf2+ε(x)=q^−(2+ε),xが無理数のときf2+(x)=0と定義した関数f2+は,
有理数において不連続,無理数において連続というところまではf1と同じだが,いたるところ微分不可能だったf1と大きく異なって, f2+はルベーグ測度の意味でほとんどいたるところ微分可能でf'2+(x)=0 a.e. xとなる.

それでも,f2+の微分可能点全体の集合は疎集合(ベールの第一類集合)にすぎない,
というのも,たかだか疎集合を除いたベールの類の意味で“ほとんどすべて”の実数xは,任意の正の数rについて
|x−p/q| < 1/q^rをみたす既約分数p/qが無数に存在する無理数,いわゆるリウーヴィル数だからである.

リウーヴィル数全体の集合Lは,
L= ∩∞ r=1 ∩∞ m=1 ∪∞ q=m∪p∈Z (p/q− 1/q^r , p/q + 1/q^r) ＼Q
と表されるから,稠密なGδ集合であり,f1やf2+と同様の,有理数xに対して既約分母の負ベキ乗q^−rを値とするような関数はいずれも,リウーヴィル数において微分不可能であることが,f1の微分不可能性の証明と同様にして示される.
リウーヴィル数とルベーグ測度やベールの類との関連について,興味のある読者は文献[1]を参照しなさい.

以上の議論から,有理数のところでだけゼロでない値をとる関数の微分可能点の分布の具合を考えることが,無理数のディオファントス近似を考えることに密接に関連していることがうかがわれるであろう.ノート[2]で与えた関数の例はここで述べたf2+の微分可能性の議論をもとにして考案したものだ.また,このノートの最初に提示した定理の証明を次の節で述べるが,この証明はここでのリウーヴィル数についての議論にヒントを得たもので,有理数の全体の代わりに不連続点の稠密可算集合,既約分母の逆数の代わりにその不連続点での関数の振動量を用いて議論を展開する.

2定理の証明
実関数f :R→Rが与えられたとする.ここでRと開区間(0,1)の間に微分同型写像が存在することから,fは有界で0<f(x)<1となっているものと仮定してさしつかえない.実数の集合Xにおけるfの振動量とは,
略
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/456

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