ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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455: １３２人目の素数さん [] 2024/02/05(月) 11:55:32.01 ID:G51s8wzo

>>452-454
>ルベーグ測度の話ですね

ですよねｗ
ルベーグ測度は、時枝の箱入り無数目で勉強させてもらいました
実は、当時 ある確率論の専門家らしき人が来て、突然「確率は確率空間を書いて考える」「関数の可測性が問題だ」と言われて、目を白黒させていましたｗ
”関数の可測性”？ ここから勉強しました。確率空間も、ルベーグ測度が分からないと始まらないですから・・ｗ
（でも、ルベーグ積分の本は買わなかったので、知識は穴だらけですけど。ルベーグ積分、昔数学セミナーの連載とかあったかも・・、全く知らないこともなかったですが・・）

>トマエ関数とディリクレ関数

旧ガロアすれで取り上げたことがあります
時枝の箱入り無数目の前か後かは、定かではないですが、後かな？
下記 藤田博司先生（愛媛大）の「xが有理数のときf2+ε(x)=q^−(2+ε),xが無理数のときf2+(x)=0と定義した関数f2+」
「f2+はルベーグ測度の意味でほとんどいたるところ微分可能でf'2+(x)=0 a.e. xとなる.」
みたいな話もした記憶があります
まあ、君が５ｃｈ（当時２ｃｈ）に来る前ですけど　；ｐ）

(参考)
http://www.math.sci.ehime-u.ac.jp/~fujita/preprints/20061001.pdf
不連続点を稠密にもつような実関数の微分可能点の集合について 藤田博司2006年10月1日
このノートで主に証明したいのは次のことだ.
定理.実関数f :R→Rの不連続点がRにおいて稠密に分布しているならば,fの微分可能点全体の集合はRにおいてたかだか疎集合である.
すでにノート[2]で証明したとおり,不連続点が不可算稠密に存在し,なおかつほとんどいたるところ微分可能であるような実関数が存在する.
ここで「ほとんどいたるところ」はルベーグ測度の意味で零集合を除けばという意味だが,
これをベールの性質の意味で疎集合を除くという形に変えることはできないことが,この定理で示されることになる.

1ディオファントス近似と微分可能性の関係
証明に移る前に,証明の動機づけと問題全体の意義を理解する助けになると思われる考察を述べる.お急ぎの方は次の節へ飛んでください.
一般に,実関数の不連続点の集合はRのFσ部分集合をなす.
逆にRのFσ部分集合が与えられれば,その各点で不連続,補集合の各点で連続となる実関数の例を与えることができる.
また,ノート[3]では,与えられた疎集合の各点で不連続でありながら,微分可能点がRにおいて稠密に存在するような上半連続関数を構成した.たくさんの連続点を持つ不連続関数の具体例として,しばしば次の関数が引き合いに出される.
実数xが有理数でその規約分母(qx∈Zをみたす最小の正整数q)がqであるときf1(x)=q^−1とし,xが無理数のときはf1(x)=0とする.
これは,有理数において不連続,無理数において連続であるような実関数である.
この関数f1はすべての無理数において連続であるが,実はいたるところ微分不可能である.その理由は次のとおり.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/455

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