ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
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422: １３２人目の素数さん [] 2024/02/04(日) 11:56:15.07 ID:nLgILFYO

>>355
(引用開始)
閉区間[0,1]上の関数fを
xが有理数ならf(x)=xを既約分数で表したときの分母の逆数
xが無理数ならf(x)=0
で定義すると
fは無理数においては連続で
有理数においては不連続になる。
このfのRiemann可積分性をチェックしてみよう。
(引用終り)

さて、宿題をやろう
１）まず、ネタばらしだが、トマエ関数ね。これは、旧ガロアすれで何年も前に取り上げた（過去スレ発掘はしないが）
２）xが有理数p/qならf(x)=1/q pとqは互いに素
　と書き直しておきます
３）で 筋は
　a)>>348 西谷達雄,阪大より http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/Lebesgue.pdf
　Lebesque積分
　P14
　定理1.5.1 f(x)がRiemann積分可能であるためにはf＿(x)=f￣(x),a.e.となることが必要十分である．
　P15
　定理1.5.2 (Lebesgue) f(x)がRiemann積分可能であるための必要十分条件はf(x)の不連続点の集合が零集合となることである．
　証明：最初にf(x)がx=x0で連続であるための必要十分条件はf∼(x0)= f(x0)=f∼(x0)の成立することである．
　　(引用終り)
　で尽きている
　b)つまり、彼の 定理1.5.1の f＿(x)=f￣(x),a.e.と 定理1.5.2の f∼(x0)= f(x0)=f∼(x0) とは、殆ど同じことです（εδの視点では）
　c)常用の筋は、εδで、任意ε＝f∼(x0)-f∼(x0)（前が∼上、後が∼下） に対して、xの周りでδを十分小さく取れて連続性OK を立証すること等
　です
４）細かい話は、追々やるが、お急ぎの方は 下記のyoutube 蛍雪色 ― 数学ノート  2019/12/09 をごらんあれ（＾＾
　（これを文字起こしすれば、このスレの半分くらいになるかもね・・ｗ）
５）で荒筋の説明のために、x=0で f(0)＝0とします（本当はf(0)＝1ですが）
　そうすると、x=0の周囲(区間(-ε/2,ε/2))の有理数は 1/n で nが十分大きい場合になります。で｜f(x)｜<δが証明できます
６）さて、xが無理数のときの連続性の証明は？ これも、上記５）と同様なのですが、時間がないので 後ほど
　（証明は、en.wikipedia Thomae's function にあります。お急ぎならこちらを）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%82%A8%E9%96%A2%E6%95%B0
トマエ関数
https://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_function
Thomae's function

https://www.youtube.com/watch?v=OlKbhfREjic
【トマエ関数】有理数の点で不連続 ＆ 無理数の点で連続な関数【解析学−微分積分学｜Thomae's function】
蛍雪色 ― 数学ノート  2019/12/09
コメント
@user-pt9lj7qo2f
2 年前
病的な関数の説明がこんなに分かりやすいことある……？すごい……

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/422

433: １３２人目の素数さん [] 2024/02/04(日) 18:15:54.52 ID:nLgILFYO

>>422 つづき
>６）さて、xが無理数のときの連続性の証明は？ これも、上記５）と同様なのですが、時間がないので 後ほど
>　（証明は、en.wikipedia Thomae's function にあります。お急ぎならこちらを）

ここの証明は、下記”数学ノート”が分かり易い
・手筋の一つは、「近傍の中で,分母がqの有理数を考えてみます.それは高々有限個しかありません.」
　また「このように取ったnに対して,分母がn以下でかつxの大きさ1の近傍での有理数を考えると,各分母で有限個しかないので,全体でも有限個の有理数しかありません.」です
・手筋のもう一つは、「1/q<1/n<ε」（εを1/n→1/q と考える）

あとは、定石εδに乗せることです
そうすれば、自然に証明が出来上がる

(参考)
https://math-note.com/thomae-function/
数学ノート 数学修士卒会社員による身の回りの数学に関する話
不思議な「トマエ関数」〜有理数で不連続,無理数で連続〜
2019年11月4日 / YUYU

無理数で連続となることの証明

無理数をxとします.
また,xの大きさ1の近傍をとります.つまり,x−1より大きく,x+1より小さい実数.
この近傍の中で,分母がqの有理数を考えてみます.
それは高々有限個しかありません.

こういう思考のもと,どんなに小さな数εを指定しても,無理数xのある近くの点sであれば,全てf(x)とf(s)の距離がε未満に取れることを示します.
まず,このどんなに小さな数εでも大きな数足せばn回足せば,1より大きくすることができます.
nε>1
これは「アルキメデスの原理」と呼ばれます.
そして,このように取ったnに対して,分母がn以下でかつxの大きさ1の近傍での有理数を考えると,各分母で有限個しかないので,全体でも有限個の有理数しかありません.

このxの近くにあるこれら有限個の有理数の中で,xに最も近い有理数（差の絶対値が最小）を選び,その差をδとします.
範囲(x−δ,x+δ)の中にあるような既約分数の分母qは,もはやn<qです.
なぜなら,n≤qだと,xに最も近い有理数（差の絶対値が最小）の条件に反するからです.

さいごに
さらにトマエ関数は,
・至る所で微分不可能
・リーマン積分可能で値は0
という面白い性質も持ちます.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/433

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