ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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397: １３２人目の素数さん [] 2024/02/03(土) 23:41:27.86 ID:amhMElr+

>>385
>アーベルは完全な証明をしたはず。「虚数乗法を持つ場合」ね。

笑える
・”完全な証明”の”完全”の定義は？
（アーベルが、虚数乗法を持つ場合の何を証明したのか？ｗ）
・”はず”？ なんだそれ？
・下記を見る限り、虚数乗法（complex multiplication）の大きな部分は
　クロネッカーの青春の夢（ヒルベルトの第12問題）で類体論でしょ？

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E4%B9%97%E6%B3%95
虚数乗法（complex multiplication）とは、通常よりも大きな対称性をもつ楕円曲線の理論のことをいう。別のいいかたをすれば、周期格子（英語版） (period lattice) がガウス整数の格子であったり、アイゼンシュタイン整数の格子であったりするような、余剰な対称性を持つ楕円函数の理論である。楕円曲線の高次元化であるアーベル多様体についても同様に大きな対称性をもつ場合があり、これらを扱うのが虚数乗法論である。

虚数乗法は、虚二次体の類体における相互法則、主イデアル定理、分岐の様子を、楕円函数や楕円曲線のことばで具体的に書き表すことを可能とする。ダフィット・ヒルベルトは、楕円曲線の虚数乗法論は数学のみならず、すべての科学の中の最も美しい分野であると言っている[1]。

クロネッカーとアーベル拡大
レオポルト・クロネッカーは、楕円曲線の位数有限の点での楕円函数の値が虚二次体のすべてのアーベル拡大を生成するに十分であるというアイデアを提唱した。これは特別な場合にはアイゼンシュタインやガウスによりすでに研究されていた。これがクロネッカーの青春の夢(Kronecker Jugendtraum)（ヒルベルトの第12問題）であり、上記のヒルベルトの指摘したことである。志村の相互法則を通して、有理数体のアーベル拡大が 1のべき根の方法で構成できることを示し、類体論をより明白なものとしている。

クロネッカーのアイデアには多くの一般化が考えられる。しかしながら、ラングランズ哲学の主要な方向性とはすこし異なるもので、今のところ決定的なステートメントは知られていない。

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_multiplication
Complex multiplication

In mathematics, complex multiplication (CM) is the theory of elliptic curves E that have an endomorphism ring larger than the integers.[1] Put another way, it contains the theory of elliptic functions with extra symmetries, such as are visible when the period lattice is the Gaussian integer lattice or Eisenstein integer lattice.

Example of the imaginary quadratic field extension
Conversely, Kronecker conjectured – in what became known as the Kronecker Jugendtraum – that every abelian extension of
K could be obtained by the (roots of the) equation of a suitable elliptic curve with complex multiplication. To this day this remains one of the few cases of Hilbert's twelfth problem which has actually been solved.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/397

412: １３２人目の素数さん [] 2024/02/04(日) 10:21:33.17 ID:nLgILFYO

>>397
(引用開始)
>>385
>アーベルは完全な証明をしたはず。「虚数乗法を持つ場合」ね
笑える
・”完全な証明”の”完全”の定義は？
（アーベルが、虚数乗法を持つ場合の何を証明したのか？ｗ）
・”はず”？ なんだそれ？
・下記を見る限り、虚数乗法（complex multiplication）の大きな部分は
　クロネッカーの青春の夢（ヒルベルトの第12問題）で類体論でしょ？
(引用終り)

さて、宿題の前にこいつを片付けよう
・Cox ガロワ理論下 第15章 レムニスケートで
　15.4 虚数乗法、15.5 アーベルの定理
　となっている
・この15.5 アーベルの定理については
　”B 直定規とコンパスによる作図”とある節で
　ここで、レムニスケートのn等分につき
　直定規とコンパスによる作図できる条件の証明している
・一方、15.4 虚数乗法は、1850年のシェーネマン アイゼンシュタインなどを説明している
　内容は、ガウス整数に関係する
・15.5 アーベルの定理の”歴史ノート”に
　ガウスDAと、アーベルの定理 ”B 直定規とコンパスによる作図”との関係の解説がある
　ここに、アーベルに刺激を受けたクロネッカーが、アーベル拡大が円分拡大であること
　および彼の青春の夢をデデキント宛の手紙に書いたこと
　そして、1920年代に高木とフューターによって
　類体論と虚数乗法の定理の最初の完全な証明が与えられた
　と記す
・さて、高木「近世数学史談」 20 初発の楕円函数論 の最後で
　クラインの楕円函数論の評にたいして
　『アーベルの虚数乗法が最も適当であろうと我々は思う。
　クラインが好むにもせよ、虚数乗法が大物であることは歴史が明らかに示してる・・』
　と記す

纏めると、虚数乗法という用語は、アーベルの後の後世の人の命名のようです
虚数乗法は、ガウス整数あたりからDAには直には書かれなかったが
ガウスがほのめかしたレムニスケートの等分問題（これを解いて発表したのがアーベルで
上記の”B 直定規とコンパスによる作図”の項ご参照）などに発する
後、高木先生の類体論に繋がる

なお、虚数乗法は大きく捉えれば、>>397のwikipediaの記述の如く
ラングランズ哲学までつながって、未完の大物らしいね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/412

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