ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
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338: １３２人目の素数さん [] 2024/02/01(木) 23:50:11.52 ID:o51DrX5C

＜メモ＞
ルベーグ積分入門∗会田茂樹 東京大学
演習問題 6.2 リーマン積分可能 条件

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~aida/lecture/19/Lebesgue-text2.pdf
ルベーグ積分入門∗会田茂樹 ∗2007.11.5版

P5
2リーマン積分2.1平面上の積分ここではリーマン積分の定義を思い出す。記述を簡単にするため、2次元(平面)の場合に述べるが、一般次元でも同じである。

S(f),s(f)については次のDarbouxの定理が基本的である。
定理2.2 略

注2.4 (1)f(x,y)が連続ならば可積分である。実は可積分になるための必要十分条件はf(x,y)の”不連続点の集合の測度ゼロ”ということが知られている。これについては演習問題6.2を参照せよ。

P28
6リーマン積分とルベーグ積分の関係

Ｐ29
演習問題 6.2 上の証明でf(x)=f(x)=f(x)a.e.x∈Iが示されたわけだが、これはf(x)がほとんどすべてのxで連続であることを示している。なぜか？また、逆に関数の不連続点全体の集合のルベーグ測度がゼロならばリーマン積分可能であることもわかる。これを証明してみよ。

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~aida/lecture/log.html
会田茂樹のホームページ 講義のページ 過去分

chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~aida/lecture/24/analysisB1.pdf
ルベーグ積分入門前編∗会田茂樹 平成24年
∗後編と前編に分けることにしました.前期の講義でFubiniの定理の紹介まで進みましたが,証明も含めた説明は後期,後編で行います.

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~aida/lecture/24/analysisB2.pdf
ルベーグ積分入門後編 会田茂樹 平成24年12月13日版∗

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/338

344: １３２人目の素数さん [] 2024/02/02(金) 13:24:29.99 ID:3jiIZ1yL

>>341-343
そだね

１）区間[0,1]中の数列、1/1,1/2,1/3,・・1/n・・→0 (n→∞)
　が、無限列である。同様に次も無限 m/(m+1)∋[0,1]
２）さて、１点は測度0である。もし、0以外の有限測度cを与えると
　加法則から数列 1/1,1/2,1/3,・・1/n・・の測度は（∞に）発散するので
　区間[0,1]の測度が発散するので、まずい(背理法)
３）では、１点の加算無限和がどうなるか？
　ところで、下記河東ゼミは「全部自分で考えろ」とは言っていない
　”調べたり聞いたり”して、ゼミに望めという（自分で証明を考える力のある人は調べる必要はないが ；ｐ）
４）一つの答えが、下記のchiebukuro.yahooにある
　これをよく見ると、>>335浅野晃の講義 関大 下記と同じ手筋です
『有理数は可算無限個あるので，ジョルダン測度の考え方で「幅」を考えることはできません。そこで，ルベーグ測度で考えます。有理数は可算ですから，通し番号をつけてa1,a2,...an...と表すことができます。ルベーグ測度の考えでは，有理数の集合が数直線上でもつ幅は，有理数全体を区間の組み合わせ（重なってもよいことに注意）で覆ったときの，区間の長さの合計の下限です。そこで，εを任意の正の数とし，a1を幅ε/2の区間で，a2を幅ε/2^2の区間で，・・・，anを幅ε/2^nの区間で覆うとします。このとき区間の長さの合計は
ε/2+ ε/2^2+・・ + ε/2^n+・・ =ε
となります。εは任意の正の数ですからいくらでも小さくすることができるので，区間の長さの合計の下限は0となります。すなわち，有理数全体のルベーグ測度は0となります。』
　つまり、ε/2+ ε/2^2+・・ + ε/2^n+・・ =ε で、被覆幅を等比数列的に小さくする筋です
５）この筋は、下記の西谷達雄(阪大)Lebesque積分P10 『・零集合の高々可算個の和集合は再び零集合である．
　Z1,...,Zn,...を零集合とするとき，任意の≤>0に対して，Znをε2^−nより小なる体積和をもつ高々可算個の区間で被覆できる．従って，これらの区間をすべてあわせれば，Z=∪i=1〜∞ Ziは≤より小な体積和をもつ可算個の区間で被覆される』
６）ここで使われている手筋が二つある
　a)加算集合→可附番（通し番号をつけて）
　b)和を等比数列を使って小さく抑える
７）なお、>>338ルベーグ積分入門∗会田茂樹 ∗2007.11.5版(東大)では
　P8で、『演習問題2.15 (1)Aiがルベーグ外測度ゼロの集合ならば∪i=1〜∞ Aiのルベーグ外測度もゼロ。
　(2)Aが可算集合ならばmL(A)=0』
　と演習問題です ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/344

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