ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
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302: １３２人目の素数さん [] 2024/01/30(火) 21:32:56.37 ID:/Fu1fOdw

>>300
>>有界の条件を抜かしたアホは、だれでしょうか？
>　リーマン積分の区間は有限ですが？
>広義リーマン積分は（狭義の）リーマン積分ではないが、日本語読めない？

あらら、まるで漫才師のボケ役だね
”有界函数（関数）”が分からんの

>>296 >>この有界の条件は、抜かさない方が良いようですね
あなたも、>>253 「有界関数 f: I → R に対し」と書いたでしょｗ

英wikipedia >>293"A bounded function  is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). "

このbounded functionが、有界関数です
区間は”on a compact interval [a, b]”だね
なお、区間の方では「関数の台」という大事な数学用語があるよ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%95%8C%E5%87%BD%E6%95%B0
有界函数

ある集合 X 上で定義される実数あるいは複素数値の函数 f が有界函数（ゆうかいかんすう、英: bounded function）であるとは、その値からなる集合が有界集合であることを言う。言い換えると、X 内のすべての x に対して
|f(x)| <= M
が成り立つような、x に依らない実数 M が存在することを言う。
しばしば、X 内のすべての x に対して

|f(x)| <= A が成立するとき、その函数は上界 A によって上から抑えられる（bounded above）と言い、そのような A が存在するときその函数は上に有界であるという。それと対照的に、X 内のすべての x に対して
|f(x)| >= B が成立するとき、その函数は下界 B によって下から抑えられる（bounded below）と言い、そのような B が存在するときその函数は下に有界であるという。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%8F%B0
関数の台
函数の台（support）とは、その函数の値が 0 とならない点からなる集合、あるいはそのような集合の閉包のことを言う[1]。この概念は、解析学において特に幅広く用いられている。また、何らかの意味で有界な台を備える函数は、様々な種類の双対に関する理論において主要な役割を担っている。

特異台
特にフーリエ解析の文脈では、超函数の特異台 (singular support) の研究に興味が持たれる。これは直観的には超函数が「その点で滑らかな函数になることができない」ような点全体の成す集合と解釈することができる。

例えば、ヘヴィサイドの階段函数のフーリエ変換は（点 x = 0 を外にすれば）定数の違いを除いて逆数函数 1/x と考えることができる。

層の理論における台
「アレクサンダー-スパニアー・コホモロジー（英語版）」も参照
カルタンの定義した位相空間 X 上の台の族 (family of supports) という抽象概念は層の理論によく馴染む。ポアンカレ双対性を非コンパクト多様体に拡張してやれば、「コンパクト台」の概念はこの双対性の片方から自然に入れることができる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/302

305: １３２人目の素数さん [] 2024/01/31(水) 00:07:36.40 ID:Rceb+sJ+

>>296
>https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral
>Riemann integral
>Integrability

後半の
”We now prove the converse direction using the sets Xε defined above.[9] For every ε, Xε is compact, as it is bounded (by a and b) and closed:”
が、いまいち分からないので、pdfを探すと下記
西谷達雄先生
Lebesque積分 講義録 がヒット

こっちの方がまだ分かる　；ｐ）
以下、下記西谷PDFより抜粋
・P10 "1.3零集合の定義と特徴づけ"が良いね
・P11 ”定義1.3.2ある性質(P)が適当な零集合を除けば成立しているとき，ほとんど至る所(P)が成立するといい，(P)a.e.(almosteverywhere)と略記する．”
・P12 "1.4基本補題"「ここで今後の考え方の基礎となる補題を２つ証明する．これらは非負の階段関数列の単調減少列があったとき，その積分値の零極限の存在と関数列自身の殆ど至る所での零極限の存在の同等性を主張するものである．」
・P13 "1.5 Lebesgueの判定条件 いままでの考察をRiemann積分可能性の判定に応用してみよう．"
　（Darboux和使用）
・P14 "定理1.5.1f(x)がRiemann積分可能であるためにはf(x)=f(x),a.e.となることが必要十分である．"
　"証明：まずf(x)をRiemann積分可能としよう．Darbouxの定理1.1.1と系1.1.1によれば・・略"
・P16 "定理1.5.2 (Lebesgue)f(x)がRiemann積分可能であるための必要十分条件はf(x)の不連続点の集合が零集合となることである．
　証明：最初にf(x)がx=x0で連続であるための必要十分条件は・・略
　さて定理の証明に移る．f(x)をRiemann積分可能とすると，定理1.5.1よりf∼(x)=f(x)=f(x)=f(x)=f∼(x),a.e.従ってf(x)は殆ど至る所連続である．逆にf(x)が殆ど至る所で連続とする．このとき，殆どいたるところf∼(x)=f∼(x).従ってf(x)=f(x),a.e.ゆえに再び定理1.5.1よりf(x)はRiemann積分可能である．(証終)"

中途半端に、Lebesque積分やLebesque測度を使わずに証明しようとしているのかな？ en.wikipediaは
Darboux和（＝Darboux積分）は、使っている

(参考)
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/
西谷達雄,Department of Mathematics Osaka University
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/Lebesgue.pdf
Lebesque積分 講義録

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/305

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