ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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266: １３２人目の素数さん [] 2024/01/29(月) 07:58:17.77 ID:2Tor3z84

>>261-263
>>>260 その指摘が不明確かと

やれやれ、日wikipediaに書いてあることを自慢して
ちょっとツッコミあると沈没か？ｗ

さて
リーマン可積分⇒微分可能でない点の集合が測度０
　↓
リーマン可積分⇒連続でない点の集合が測度０
ですな

"R^n の有界閉区間 I 上の有界関数 f: I → R に対し、
f が I 上リーマン可積分であることと、
f がほとんど至るところ連続であること（※）は同値
（※ f の不連続点全体の集合が零集合）"
だったね

これの証明は、下記の英wikipediaにある
（Integrability 可積分性条件 the Lebesgue-Vitali theorem な）
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral
Riemann integral

Integrability
A bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). This is the Lebesgue-Vitali theorem (of characterization of the Riemann integrable functions). It has been proven independently by Giuseppe Vitali and by Henri Lebesgue in 1907, and uses the notion of measure zero, but makes use of neither Lebesgue's general measure or integral.
The integrability condition can be proven in various ways,[4][5][6][7] one of which is sketched below.

Proof
The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition.
One direction can be proven using the oscillation definition of continuity:[8] For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε. Since every point where f is discontinuous has a positive oscillation and vice versa, the set of points in [a, b], where f is discontinuous is equal to the union over {X1/n} for all natural numbers n.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/266

271: １３２人目の素数さん [] 2024/01/29(月) 10:41:46.50 ID:F9Ii6wqO

>>270
>>>266-269　それ日本で要約して書いてみ

面白い漫才師だな
するりとうまく「体を入れ替える」話法ねｗ

下記は、君が”大学数学ゼミ、かくあるべし”！>>262
と主張していたことだよ

で、そのしたり顔の主張をつぶしに行ったのが、私です
”定義や定理を知らなければそこの部分が理解できないに決まっているんですから，
そういうところを素通りするのは数学の本の読み方として根本的に誤っています．”

のところだが、一見道理だが河東泰之氏の主張は 彼の実際の勉強法と乖離している（下記）
河東氏は、麻布中入学後「数学の本はわかってもわからなくても手当たり次第に読んだ」
「このころ一番難しくてわからないと思った本は，ヘルマンダー「多変数複素解析学入門」だった」という

思うに、理解というのは 多少分からないところがあっても、先に進むと分かるときがある
逆に、先に進まないと分からないことも多い

しかし、セミナーの進め方としては、それらを全部ひっくるめて”準備してこい”ってことでしょう
普段の勉強とセミナーの準備を混同して主張するやつがいるから、それを潰しに行ったのです ；ｐ）

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1701712810/11-18
河東泰之「セミナーの準備のしかたについて」は本当に正しいのか？

>まず，当然書いてあることを理解することが第一歩です．
>黙って「何々である」とか，"It is easy to see...", "We may assume that...", "It is enough to show..."などと書いてあるのは
>すべて，なぜなのか徹底的に考えなくてはいけません．
>また自分の知らない定理や定義を使っているところがあれば当然，調べたり聞いたりしなくてはいけません．
>定義や定理を知らなければそこの部分が理解できないに決まっているんですから，
>そういうところを素通りするのは数学の本の読み方として根本的に誤っています．

そういう修行はまっぴら御免という人は
数学科に入って数学者になろうなんて思うのが間違いだよ

要は数学が分かりたくて数学科に入ったんだろうということ
別に全然分からんでもいいと諦めても結構だが
そういうことなら即刻転科しな

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/vitae2.htm
履歴書（非公式版） (5/1/2019)
1975年3月　私立麻布中学入学
このころは，数学の本はわかってもわからなくても手当たり次第に読んだ． 今に影響してるのは，Rudin "Functional Analysis", Arveson "An invitation to C*-Algebras", 斎藤正彦「超積と超準解析」，シュヴァルツ「位相と関数解析」など． 岩波「基礎数学」，ブルバキ「数学原論」(日本語訳)も当時出はじめたので買って読んだ． 数学セミナーも1年生の時から熱心に読んで，「エレガントな解答を求む」などをやっていた． このころ一番難しくてわからないと思った本は，ヘルマンダー「多変数複素解析学入門」だった． 友隣社や東大数学科の図書館にもこのころ行った．東大教養の自主セミナーでやっていた， "Topology from the differentiable viewpoint" (Milnor)にも出た．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/271

286: １３２人目の素数さん [] 2024/01/30(火) 11:23:04.29 ID:0O1eEeBq

>>283
>>その測度が0でない場合は区分をいくら小さくしても上積分と下積分の差が0に収束させることができない
>これは測度の定義からすぐ出せますか？

カンニングですが、下記ですね
（>>266より再録）

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral
Riemann integral
Integrability
A bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). This is the Lebesgue-Vitali theorem (of characterization of the Riemann integrable functions). It has been proven independently by Giuseppe Vitali and by Henri Lebesgue in 1907, and uses the notion of measure zero, but makes use of neither Lebesgue's general measure or integral.

The integrability condition can be proven in various ways,[4][5][6][7] one of which is sketched below.

One direction can be proven using the oscillation definition of continuity:[8] For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε. Since every point where f is discontinuous has a positive oscillation and vice versa, the set of points in [a, b], where f is discontinuous is equal to the union over {X1/n} for all natural numbers n.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/286

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