ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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220: １３２人目の素数さん [] 2024/01/27(土) 09:47:45.62 ID:HL7mh5IY

>>212
>超関数論ではmeasuree theoryよりconvolutionが重要

そうそう
convolution＝畳み込み
ですね。下記を貼っておきます

なお、下記「シュワルツ超函数論の成功に刺激を受けて佐藤超函数 (hyperfunction) の概念が生み出された。テスト函数には正則函数の空間が用いられる」
です

また、「広義の函数としての超函数 (generalized function) は1935年セルゲイ・ソボレフによって導入されたが、その後1940年代になって・・」
とあって、当時のソ連としては ”generalized function”を、Gelʹfand>>203らが熱心にやったのですね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E8%B6%85%E5%87%BD%E6%95%B0
シュワルツ超函数
シュワルツ超函数（英: distribution; 分布）あるいは超函数（英: generalized function; 広義の函数）は、函数の一般化となる数学的対象である。シュワルツ超函数の概念は、古典的な意味での導函数を持たない函数に対しても微分を可能とする。特に、任意の局所可積分函数は超函数の意味で微分可能である。シュワルツ超函数は偏微分方程式の弱解（広義の解）の定式化に広く用いられる。古典的な意味での解（真の解）が存在しないか構成が非常に困難であるような場合でも、その微分方程式の超函数解はしばしばより容易に求まる。シュワルツ超函数の概念は、多くの問題が自然に解や初期条件がディラック・デルタのような超函数となるような偏微分方程式として定式化される物理学や工学においても重要である。
広義の函数としての超函数 (generalized function) は1935年セルゲイ・ソボレフによって導入されたが、その後1940年代になって一貫した超函数論を展開するローラン・シュヴァルツによって再導入される。
超函数(distribution)の拡張の一つとして、佐藤超函数があるとみなすことができる。

基本的な考え方
基本的な考え方は、函数を適当な「テスト函数」（扱いやすくよい振舞いをする函数）の空間上の抽象線型汎函数と同一視することである。超函数に対する作用・演算は、それをテスト函数へ移行することによって理解することができる。

例えば、f: R → R を局所可積分函数、φ: R → R をコンパクトな台を持つ（すなわちある有界集合の外側で恒等的に 0 となる）滑らかな函数（つまり無限回微分可能な函数）とする。函数 φ が「テスト函数」である。このとき、
＜f,φ＞ = ∫R fφ dx
は φ に関して線型かつ連続に変化する実数である。それゆえに、函数 f を「テスト函数」全体の成すベクトル空間上の連続線型汎函数と看做すことができる。

畳み込み
テスト函数と超函数との畳み込み

テスト函数として正則函数を用いること
シュワルツ超函数論の成功に刺激を受けて佐藤超函数 (hyperfunction) の概念が生み出された。テスト函数には正則函数の空間が用いられる。この精錬された理論は特に、層の理論や多変数複素解析を駆使する佐藤幹夫の代数解析学によって発展した。これにより、例えばファインマンの経路積分のような形式的な方法の範疇にあったものが、厳密な数学として扱えるようになった。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/220

230: １３２人目の素数さん [] 2024/01/27(土) 11:54:51.62 ID:HL7mh5IY

>>212
>超関数論ではmeasuree theoryよりconvolutionが重要

convolution＝畳み込み の追加
追伸：小松彦三郎先生の「Laplace超函数による微分方程式の解法」は、見事ですね。感心しました

(参考)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kida/notes/fourier.pdf
フーリエ変換と超関数 木田良才2020年2月28日

第3講L2関数のフーリエ変換 . .33
3.1ヒルベルト空間とその完全正規直交系......... 33
3.2 L2(T)の場合............ . . 35

第III部シュワルツ超関数93第9講序論 . .95
9.1超関数とその動機............ . . 95
9.2微分............... 98
9.3微分の計算例............. . 100
第10講たたみ込み . .105
10.1テスト関数とのたたみ込み........... 105
10.2超関数の台............. . . 107
10.3コンパクト台をもつ超関数とのたたみ込み........ 109

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/60022/1/0935-3.pdf
数理解析研究所講究録935巻1996年21-52
Laplace超函数による微分方程式の解法 東京大学大学院数理科学研究科 小松彦三郎
P30
6.たたみこみ

（おまけ）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1028-3.pdf
数理解析研究所講究録1028巻1998年25-41
複素領域のたたみ込み方程式 千葉大理 岡田靖則(YasunoriOkada) *
概要たたみ込み積について復習し,複素領域におけるたたみ込み作用素とはどういう作用素かを調べる.さらにFourier-Borel解析を紹介し,整函数に関する理論のいくつかを仮定して,とくに管状領域における,たたみ込み方程式の可解性と解の延長問題について論じる.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/230

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