ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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203: １３２人目の素数さん [] 2024/01/26(金) 23:47:24.08 ID:oOBYvDaH

>>202
>>シュワルツの超函数論が測度論という数学者でない者には敷居の高い理論を下敷きにしている
>これは非常に大きな誤解だ

なるほど
ここにツッコミが入るとは、プロだね。御大か

いま手元に、「線形位相空間と一般関数 共立数学講座16」山中健（下記）があります
これは、結構良い本でして、シュワルツの超函数と佐藤のhyperfunctionとを
汎関数（＝一般関数）として、統一的に論じる本です
なので、「シュワルツの超函数論が測度論」は誤解ですね

一般関数は、英語ではgenerallized function です(下記)
山中先生の本の参考文献にも、ゲルファント、シーロフとかあって
当時のソ連（今ロシア）の文献が上がっています

佐藤スクールとソ連ゲルファント スクールとは
結構交流があったと、昔”猫”さんが、旧ガロアすれで言っていました
（下記 ”Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič; Vilenkin, Naum Jakovlevič (1964). Generalized Functions. Vol. I–VI”などが文献であがっています）

なお、ルベーグ積分でなく、普通のリーマン積分で間に合うようです
（リーマン積分でも ”測度”は当然使っていますが、”測度”という意識が無かっただけとか 藤田博司先生（愛媛大）が何かに書かれていました）
あと、”測度論”は大学 確率論で必要なので、「数学者でない者には敷居の高い理論」ではないです。私でさえ勉強しました ；ｐ）

（参考）
https://www.meirinkanshoten.com/products/detail/694566
線形位相空間と一般関数
【著者名　】山中健
【シリーズ】共立数学講座16
【発行年度】昭和41年

https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_function
Generalized function
In mathematics, generalized functions are objects extending the notion of functions. There is more than one recognized theory, for example the theory of distributions.
The early history is connected with some ideas on operational calculus, and more contemporary developments in certain directions are closely related to ideas of Mikio Sato, on what he calls algebraic analysis.

Books
Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič; Vilenkin, Naum Jakovlevič (1964). Generalized Functions. Vol. I–VI. Academic Press. OCLC 728079644.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0
超関数

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/203

220: １３２人目の素数さん [] 2024/01/27(土) 09:47:45.62 ID:HL7mh5IY

>>212
>超関数論ではmeasuree theoryよりconvolutionが重要

そうそう
convolution＝畳み込み
ですね。下記を貼っておきます

なお、下記「シュワルツ超函数論の成功に刺激を受けて佐藤超函数 (hyperfunction) の概念が生み出された。テスト函数には正則函数の空間が用いられる」
です

また、「広義の函数としての超函数 (generalized function) は1935年セルゲイ・ソボレフによって導入されたが、その後1940年代になって・・」
とあって、当時のソ連としては ”generalized function”を、Gelʹfand>>203らが熱心にやったのですね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E8%B6%85%E5%87%BD%E6%95%B0
シュワルツ超函数
シュワルツ超函数（英: distribution; 分布）あるいは超函数（英: generalized function; 広義の函数）は、函数の一般化となる数学的対象である。シュワルツ超函数の概念は、古典的な意味での導函数を持たない函数に対しても微分を可能とする。特に、任意の局所可積分函数は超函数の意味で微分可能である。シュワルツ超函数は偏微分方程式の弱解（広義の解）の定式化に広く用いられる。古典的な意味での解（真の解）が存在しないか構成が非常に困難であるような場合でも、その微分方程式の超函数解はしばしばより容易に求まる。シュワルツ超函数の概念は、多くの問題が自然に解や初期条件がディラック・デルタのような超函数となるような偏微分方程式として定式化される物理学や工学においても重要である。
広義の函数としての超函数 (generalized function) は1935年セルゲイ・ソボレフによって導入されたが、その後1940年代になって一貫した超函数論を展開するローラン・シュヴァルツによって再導入される。
超函数(distribution)の拡張の一つとして、佐藤超函数があるとみなすことができる。

基本的な考え方
基本的な考え方は、函数を適当な「テスト函数」（扱いやすくよい振舞いをする函数）の空間上の抽象線型汎函数と同一視することである。超函数に対する作用・演算は、それをテスト函数へ移行することによって理解することができる。

例えば、f: R → R を局所可積分函数、φ: R → R をコンパクトな台を持つ（すなわちある有界集合の外側で恒等的に 0 となる）滑らかな函数（つまり無限回微分可能な函数）とする。函数 φ が「テスト函数」である。このとき、
＜f,φ＞ = ∫R fφ dx
は φ に関して線型かつ連続に変化する実数である。それゆえに、函数 f を「テスト函数」全体の成すベクトル空間上の連続線型汎函数と看做すことができる。

畳み込み
テスト函数と超函数との畳み込み

テスト函数として正則函数を用いること
シュワルツ超函数論の成功に刺激を受けて佐藤超函数 (hyperfunction) の概念が生み出された。テスト函数には正則函数の空間が用いられる。この精錬された理論は特に、層の理論や多変数複素解析を駆使する佐藤幹夫の代数解析学によって発展した。これにより、例えばファインマンの経路積分のような形式的な方法の範疇にあったものが、厳密な数学として扱えるようになった。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/220

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