ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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157: １３２人目の素数さん [] 2024/01/25(木) 10:37:02.23 ID:zxKJrX2I

>>149 訂正と補足

＜訂正＞
・それが、ミルナーのh-cobordismにつながり
　　↓
・それが、Smaleのh-cobordismにつながり

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/H-cobordism
h-cobordism
In geometric topology and differential topology, an (n + 1)-dimensional cobordism W between n-dimensional manifolds M and N is an h-cobordism (the h stands for homotopy equivalence) if the inclusion maps
M → W and N → W
are homotopy equivalences.

The h-cobordism theorem gives sufficient conditions for an h-cobordism to be trivial, i.e., to be C-isomorphic to the cylinder M × [0, 1]. Here C refers to any of the categories of smooth, piecewise linear, or topological manifolds.

The theorem was first proved by Stephen Smale for which he received the Fields Medal and is a fundamental result in the theory of high-dimensional manifolds. For a start, it almost immediately proves the generalized Poincaré conjecture.

Background
Before Smale proved this theorem, mathematicians became stuck while trying to understand manifolds of dimension 3 or 4, and assumed that the higher-dimensional cases were even harder. The h-cobordism theorem showed that (simply connected) manifolds of dimension at least 5 are much easier than those of dimension 3 or 4. The proof of the theorem depends on the "Whitney trick" of Hassler Whitney, which geometrically untangles homologically-tangled spheres of complementary dimension in a manifold of dimension >4. An informal reason why manifolds of dimension 3 or 4 are unusually hard is that the trick fails to work in lower dimensions, which have no room for entanglement.
(引用終り)

＜補足＞
　>>149の福田拓生先生が、ルネ・トムから直接聞いた話の素直な解釈は
　H.Cartan：岡論文を読め
　　↓
　岡論文：上空移行 次元を上げよ
　　↓
　ルネ・トム：岡先生ありがとう、+１次元のコボルディズムが閃いた
　　↓
　ルネ・トム：「日本で岡先生に会えたときには感激した」と懐かしそうに言われた

ということではないでしょうか

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/157

158: １３２人目の素数さん [] 2024/01/25(木) 11:38:39.19 ID:zxKJrX2I

>>115
>個人的にはグロタンディクの分解原理のほうが好きだ
>グロタンディクは岡潔のような神秘性をまとってないが
>https://en.wikipedia.org/wiki/Splitting_principle

寄り道ですが
１）グロタンディクの分解原理は、別にリンクあり（下記）
　これは、1957 "American Journal of Mathematics"で、彼がアメリカ滞在時の仕事なのだろう
２）かれは、1955〜1957年にアメリカにいて、"Tôhoku paper"を書いた。フランス国籍がなく仏ではアカデミックポストは困難だった
　”In 1957 he was invited to visit Harvard by Oscar Zariski”とあるが、he refused to sign a pledge promising not to work to overthrow the United States government（機械訳：アメリカ合衆国政府を転覆させるために働かないと約束する誓約書への署名を彼が拒否した）
　のでダメになったという
３）1958 IHÉSへ。IHÉSは、無国籍のグロタンディクのために作られたという

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%E2%80%93Grothendieck_theorem
(Redirected from Grothendieck splitting principle)
Birkhoff–Grothendieck theorem
In mathematics, the Birkhoff–Grothendieck theorem classifies holomorphic vector bundles over the complex projective line. In particular every holomorphic vector bundle over
CP^1 is a direct sum of holomorphic line bundles. The theorem was proved by Alexander Grothendieck (1957, Theorem 2.1),[1] and is more or less equivalent to Birkhoff factorization introduced by George David Birkhoff (1909).[2]
References
1. Grothendieck, Alexander (1957). "Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann". American Journal of Mathematics. 79 (1): 121–138.

https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck
Alexander Grothendieck
Studies and contact with research mathematics
In Nancy, he wrote his dissertation under those two professors on functional analysis, from 1950 to 1953.[29] At this time he was a leading expert in the theory of topological vector spaces.[30] In 1953 he moved to the University of São Paulo in Brazil, where he immigrated by means of a Nansen passport, given that he had refused to take French nationality (as that would have entailed military service against his convictions). He stayed in São Paulo (apart from a lengthy visit in France from October 1953 - March 1954) until the end of 1954. His published work from the time spent in Brazil is still in the theory of topological vector spaces; it is there that he completed his last major work on that topic (on "metric" theory of Banach spaces).

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/158

159: １３２人目の素数さん [] 2024/01/25(木) 11:38:55.48 ID:zxKJrX2I

つづき

Grothendieck moved to Lawrence, Kansas at the beginning of 1955, and there he set his old subject aside in order to work in algebraic topology and homological algebra, and increasingly in algebraic geometry.[31][32] It was in Lawrence that Grothendieck developed his theory of Abelian categories and the reformulation of sheaf cohomology based on them, leading to the very influential "Tôhoku paper".[33]

In 1957 he was invited to visit Harvard by Oscar Zariski, but the offer fell through when he refused to sign a pledge promising not to work to overthrow the United States government—a refusal which, he was warned, threatened to land him in prison. The prospect of prison did not worry him, so long as he could have access to books.[34]

IHÉS years
In 1958, Grothendieck was installed at the Institut des hautes études scientifiques (IHÉS), a new privately funded research institute that, in effect, had been created for Jean Dieudonné and Grothendieck.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/159

162: １３２人目の素数さん [] 2024/01/25(木) 12:21:00.01 ID:zxKJrX2I

>>161
そうですね

岡論文：上空移行 次元を上げよ
が
ルネ・トム：+１次元のコボルディズムのヒントになり

またそれが、Smaleのh-cobordismによる 高次元ポアンカレ予想解決になった>>157
別に、John MilnorのSurgery theory（手術理論）が発展しました
Milnorさんもフィールズ賞です
そして、（3次元）ポアンカレ予想にも、Surgery theory（手術理論）が使われた（これもフィールズ賞）

”岡論文：上空移行”は、偉大ですね

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Surgery_theory
Surgery theory
In mathematics, specifically in geometric topology, surgery theory is a collection of techniques used to produce one finite-dimensional manifold from another in a 'controlled' way, introduced by John Milnor (1961).
A relatively easy argument using Morse theory shows that a manifold can be obtained from another one by a sequence of spherical modifications if and only if those two belong to the same cobordism class.[1]
Attaching handles and cobordisms
A surgery on M not only produces a new manifold M′, but also a cobordism W between M and M′. The trace of the surgery is the cobordism (W; M, M′), with
略

https://en.wikipedia.org/wiki/John_Milnor
John Willard Milnor (born February 20, 1931) is an American mathematician known for his work in differential topology, algebraic K-theory and low-dimensional holomorphic dynamical systems. Milnor is a distinguished professor at Stony Brook University and the only mathematician to have won the Fields Medal, the Wolf Prize, the Abel Prize and all three Steele prizes.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E4%BA%88%E6%83%B3
（3次元）ポアンカレ予想
幾何化予想とペレルマン
ペレルマンは、特異点が発生する3次元多様体に対して、3次元手術つきリッチフロー (Ricci flow with surgery) を適用することによって幾何化予想を解決した[14]。手術とは、有限時間で生成する特異点の直前でシリンダー状の部分の切り口 S2 に沿って球面状のキャップをかぶせてそこに標準解と呼ばれるものを貼ることである[2][14][15]。ペレルマンは、この手術を特異点が生成する時空の点に限りなく近づける極限をとることにより、3次元リッチフローが有限時間での特異点を超えて標準的に延長することを証明した[2][14][16]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/162

174: １３２人目の素数さん [] 2024/01/25(木) 18:04:29.40 ID:zxKJrX2I

ちょっと古いが貼りますね
（これだけで、2011年ころの流れが分かる）

(参考)
https://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/
ENCOUNTERwithMATHEMATICS 中央大学
第55回　多変数複素解析　岡の原理--誕生から最近の発展まで-- 2011年2月21日(月), 22日(火)
https://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/ewm55.pdf
岡理論とその背景
大沢 健夫 (名古屋大学大学院多元数理科学研究科)
岡潔による上空移行の原理に始まりレビ問題（ハルトークスの逆問題）の解決に至る
理論を概観しながら、そのアイディアの背景となったポアンカレ以来の思想、特にファイ
バー束の導入やモース理論の誕生に至る解析学におけるトポロジー的手法の発達につい
て、手近な資料をもとにまとめてみる。

岡の原理とその一般化および精密化
大沢 健夫 (名古屋大学大学院多元数理科学研究科)
岡の原理はセールによって名付けられて以来、グラウエルトらによってベクトル束へ
と一般化され、フォルスターらによって完全交差多様体への応用に適した形に精密化され
た。これらの結果を概観し、未解決問題をいくつか紹介する。

岡多様体と拡張定理（Forstneric理論瞥見)
大沢 健夫 (名古屋大学大学院多元数理科学研究科)
シュタイン多様体の埋め込み問題の研究などが動機となって、グロモフらにより岡の
原理にはさらに磨きがかけられ、フォルストネリッチらによる最近の活発な研究へとつな
がって行く。その結果、岡理論の精髄が拡張定理にあることがますます明らかになって来
たように思われる。このような最近の研究動向を参考にしながら、岡の原理の行く末につ
いていろいろと考えてみたい。

強擬凸領域の幾何とアンビエント空間
平地 健吾 (東京大学数理科学研究科)
Fefferman はフィールズ賞を受賞した 1978 年頃には強擬凸領域の幾何と解析を新しい視
点から研究するプログラム [1] に取り組んでいました。このプログラムの指針は、リーマ
ン多様体上の熱核を用いた指数定理の証明を、強擬凸領域のベルグマン核におきかえて考
えよう、というものです。その第一歩がベルグマン核の漸近展開の幾何的な記述であり、
その過程で、強擬凸領域を１次元高いアンビエント空間 [3] とよばれるリッチ平坦ローレ
ンツ多様体に埋め込むアイディアを着想しました (Fefferman 自身はその後数年で研究分
野を大きく変えてしまいます)。アンビエント空間は後に Maldacena によって予想された
超弦理論における AdS/CFT 対応 [2] の記述の基本的な道具にもなり、現在では放物型幾
何学 [4] とよばれる分野にまで発展しています。この講義では複素解析から出発して、そ
の後 Fefferman のアイディアが人々によってどのように展開されていったのかを解説しま
す。(残念ながら超弦理論については勉強不足で説明できません。)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/174

176: １３２人目の素数さん [] 2024/01/25(木) 18:20:49.07 ID:zxKJrX2I

追加
”上空移行の原理" 岡潔先生の数学--原論文の紹介

https://www.nara-wu.ac.jp/aic/gdb/nwugdb/oka/ko_ron/
公　表　論　文　　　　
岡潔先生の数学--原論文の紹介 （ PDF　TeX ）
I.Domaines convexes par rapport aux fonctions rationnelles
　Journal of Science of the Hiroshima University 6 (1936), p.245-255 ダウンロード用　PDF　TeX
有理函数に関する凸状域（日本語訳） 　PDF　TeX
解　題 　PDF　TeX
内容： 上空移行により、有理函数による多面体における問題を筒状域における問題に帰着させる原理を確立し、それによって有理函数に関する凸状域におけるクーザン第１問題と展開の問題を解決している。

https://www.nara-wu.ac.jp/aic/gdb/nwugdb/oka/ko_ron/pdf/kai-1.pdf
解 題
1. この第 I 論文は ”岡先生の数学" における第１主題の提示部である.
序文をもう一度読み直してみよう. 先ず当時の多変数函数論の分野に残さ
れている主要な問題として
1. Runge の定理や Cousin の定理が成り立つ領域のタイプ.
2. Hartogs の凸性と Cartan{Thullen の凸性の関係.
が挙げられており,『この論文およびこれに続く論文で予定されているのはこ
れらの問題の研究である』と書かれている.1
このように書かれてはいるが, 岡先生は, これらの問題を並列に存在する問
題群と考えておられるのではなく, したがってこれらの問題を解けるものか
ら順次解いていこうとしておられるのではない. Cousin の問題を解くことだ
けなら, 本文の脚注にもある様に Weil の積分表示を Cousin 型に使うだけで
解決する.2

上記の問題群は, その難しさが，取り扱う領域の形に大きく依存する. 例え
ばその領域が各座標平面の領域の直積領域，すなわち筒状域ならば, 問題は
ほとんど 1 変数函数論の問題に帰着する. 実際 P. Cousin はそのようにして
筒状域における Cousin 問題を解いたのである. しかし一般な領域の場合は
そうではない. それで岡先生は, 最初から, 一般な領域でこれらの問題を統一
的に解決するような原理を得ようとしておられるのである．
続いて序文には『考えている空間の次元を適当に上げることによって，こ
れらの問題の困難さがときとして緩和されるのではないか』という考えが浮
かんだと書かれている. これがその求めている原理であった. この漠然とし
たアイデアを, 岡先生と共に, \上空移行の原理" と呼ぶことにしよう. この
アイデアを特別な場合に実現することで, \有理函数に関する凸状域" を筒状
域に帰着させ, そうすることによって, この種の領域においても Runge の定
理と Cousin の定理が共に成立することを示したのがこの論文の内容である.
しかし, 重点は『このアイデアを特別な場合に実現すること』自体にあった.
それで序文の最後に『これは同時に, 我々にとって不可欠な補題の，もっと一
般な研究を提起するためのものでもある』と書かれている.

なお, この論文における ”上空移行の原理" の実現には Cousin 第 1 問題が
関与しており, 証明では, その二つの問題が, 二重帰納法によって同時に解決
されるという面白い構造になっている.
以下略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/176

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