[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/

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304: １３２人目の素数さん [sage] 2024/01/31(水) 00:03:18.45 ID:xFIoSNei 定理　[0,1] 区間で定義された有界関数 f(x) で次は同値 (1) S = { x | f(x) は x=a で不連続 }の測度は0 (2) ∫01f(x)dx はリーマン可積分 (∵) f(x)が正値のとき示せば十分である。 [0,1]の分割 Δ に対して関数 m(Δ,x), M(Δ,x)を以下で定める m(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) } M(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) } (1)を仮定する。まず { ( a,b ) | 0 ≦ b ≦ f(a), a は f(x) の連続点 } = ∪Δ { ( a,b ) | 0 ≦ b ≦ m(Δ,a), a は f(x) の連続点 } であり右辺は Lebesgue 可測集合だから f(x) はLebesgue 可測関数である。 さらに ξk ∈ Δ(k) をえらぶとき ∫01m(Δ,x)dx ≦ Σ f(ξk)|Δk| ≦ ∫01M(Δ,x)dx ...(*) である。|Δ| → 0 のとき f(x) の連続点 x においてm(Δ,x) → f(x)、M(Δ,x) → f(x) であるから(*)の左辺、右辺はDCTにより∫01f(x)dxに収束する。よって f(x) は riemann 可積分である。 (1) を否定する。関数 ρ(x) を ρ(x) = limsupt→x f(t) - liminft→x f(t) でさだめる。仮定により正数 a>0 を集合 T = { x | ρ(x)>a } が μ(T) > 0 を満たすようにとれる。 このとき分割 Δ にたいして Σ { |Δk| | Δk∩T≠Φ } ≧ μ(T) であり、 Δk∩T≠Φ である k に対して M(Δ,x) - m(Δ,x) ≧ a であるから結局 ∫01M(Δ,x)dx - ∫01m(Δ,x)dx ≧ a である。これが任意の分割Δについて成立するから f(x) はRiemann可測ではない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/304

312: １３２人目の素数さん [sage] 2024/01/31(水) 08:09:27.46 ID:xFIoSNei f(x)がRiemann積分可能であるためにはf(x)=f(x),a.e.となることが必要十分である． なにこれ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/312

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