ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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480: １３２人目の素数さん [] 2024/02/06(火) 16:29:02.02 ID:waUghugl

>>450
>なるほど
>「ジョルダン外測度とジョルダン内測度の差が0になる」
>がまずいかな
>トマエ関数のように、有理数の点が稠密に分布している場合には
>ジョルダン測度を使うのが、根本的な間違いかもね

さて 戻る
１）まず、前振りです
　wikipediaジョルダン測度より https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%B8%AC%E5%BA%A6
　(引用開始)（文字化けご容赦。他も同様）
　ジョルダン測度の定義は、そのような容積が（折れ線や三角形・台形や球体のような図形がそうであるように）より複雑な図形に対しても厳密に定まるために満たされるべき、適当な条件（可測条件）を明らかにするものである。しかし、与えられた集合が（古典的な意味での「容積」としての）ジョルダン測度を持つには、それが極めて素直（英語版）な性質を持つ必要がある（それでも実用上現れる集合の多くはそれを満足する）ことが分かっており、したがってそのような集合はある意味では限定的である（それゆえ、ジョルダン測度をより大きな集合のクラスに対して拡張したルベーグ測度を用いるのが現在ではより一般的である）。

歴史的に言えば、ジョルダン測度が最初に現れるのは19世紀の終わりにかけてであり、歴史的経緯で「ジョルダン測度」(Jordan measure) の語はすでに浸透した用法となってはいるが、現代的な定義で言えば真の測度 (measure) ではない（ジョルダン可測な集合全体は完全加法族をなさない）ことに注意が必要である。例えば、一点集合 {x} (x ∈ R) は何れもジョルダン測度零であるが、そのような集合の可算和になる Q ∩ [0, 1] はジョルダン可測でない[注釈 1]。
　線型汎函数としての「ジョルダン測度に関する（ルベーグ式の）積分」は（ルベーグ測度に関する（ルベーグ式の）積分がルベーグ積分であるというのと同じ意味で）リーマン積分である。

ジョルダン可測でない例
ジョルダン内測度、ジョルダン外測度はユークリッド空間内の任意の集合に定義されるにも拘らず、ジョルダン内測度とジョルダン外測度が一致し（あるいは境界がジョルダン測度零で）なければならないという「可測条件」は、ジョルダン可測となる集合の種類を極めて制限することになる。

任意のコンパクト集合はジョルダン可測とは限らず、実際に例えば太いカントール集合はジョルダン可測でない[4]。

同様に有界な開集合も必ずしもジョルダン可測とは限らない。例えば太いカントール集合の（区間の中での）補集合は可測でない。

有界集合がジョルダン可測となるための必要十分条件は、その定義函数がリーマン可積分となることである[5]。（[5]^ Volume - PlanetMath https://planetmath.org/Volume.（英語）。なお杉浦光夫『解析入門I』ではこれを体積確定（＝ジョルダン可測）の定義としている。）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/480

481: １３２人目の素数さん [] 2024/02/06(火) 16:30:21.28 ID:waUghugl

つづき

ルベーグ測度を μで表すことにすればユークリッド空間の有界集合 Aに対して以下が成り立つことが知られている[6]
m_*(A)=μ(A^〇),m^*(A)=μ(A￣)これにより、有界集合がジョルダン可測となるための必要十分条件はその境界がルベーグ測度零となることであることが従う（有界集合の境界はコンパクトであるから、さらに「境界がジョルダン測度零となること」と言い換えてもよい）。
またルベーグ内測度、ルベーグ外測度、を
μ_*,μ^*で表すことにすれば
m_*(A) ≤ μ_*(A) ≤ μ^*(A) ≤ m^*(A)が成り立つこともすぐに分かる[7]。従ってジョルダン可測な有界集合はルベーグ可測である。しかし逆は成り立たない。
(引用終り)

２）上記”有界集合がジョルダン可測となるための必要十分条件は、その定義函数がリーマン可積分となることである[5]”とある
　さて、下記 en.wikipediaで同様に”A bounded set is Jordan measurable if and only if its indicator function is Riemann-integrable, and the value of the integral is its Jordan measure.[1]”とある
　indicator function en.wikipediaなどで”For example, the Dirichlet function is the indicator function of the rational numbers as a subset of the real numbers.”
　指示関数 集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である との記述あり

３）まとめると、”有界集合がジョルダン可測となるための必要十分条件は、その定義函数がリーマン可積分となることである[5]”
　”A bounded set is Jordan measurable if and only if its indicator function is Riemann-integrable, and the value of the integral is its Jordan measure.[1]”
　から、有界集合のジョルダン可測性は、”if and only if its indicator function is Riemann-integrable”で決まる
　そもそも、ジョルダン測度はリーマン積分説明のために考えられたはずだが、ジョルダン測度は現代的な視点からは不完全だった
　だから、ジョルダン可測性が”its indicator function is Riemann-integrable”で説明される
４）さらに、Indicator function en.wikipedia ”For example, the Dirichlet function is the indicator function of the rational numbers as a subset of the real numbers.”
　とあるから、トマエ関数のような場合は Indicator functionとしては the Dirichlet function が the indicator function なので、扱えないと思われる

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/481

482: １３２人目の素数さん [] 2024/02/06(火) 16:30:40.92 ID:waUghugl

つづき

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano%E2%80%93Jordan_measure
In mathematics, the Peano–Jordan measure (also known as the Jordan content) is an extension of the notion of size (length, area, volume) to shapes more complicated than, for example, a triangle, disk, or parallelepiped.
Extension to more complicated sets
For example, the fat Cantor set is not. Its inner Jordan measure vanishes, since its complement is dense; however, its outer Jordan measure does not vanish, since it cannot be less than (in fact, is equal to) its Lebesgue measure. Also, a bounded open set is not necessarily Jordan measurable. For example, the complement of the fat Cantor set (within the interval) is not.

A bounded set is Jordan measurable if and only if its indicator function is Riemann-integrable, and the value of the integral is its Jordan measure.[1]

Equivalently, for a bounded set B the inner Jordan measure of B is the Lebesgue measure of the topological interior of B and the outer Jordan measure is the Lebesgue measure of the closure.[4]
From this it follows that a bounded set is Jordan measurable if and only if its topological boundary has Lebesgue measure zero. (Or equivalently, if the boundary has Jordan measure zero; the equivalence holds due to compactness of the boundary.)

References
[1] While a set whose measure is defined is termed measurable, there is no commonly accepted term to describe a set whose Jordan content is defined. Munkres (1991) suggests the term "rectifiable" as a generalization of the use of this term to describe curves. Other authors have used terms including "admissible" (Lang, Zorich); "pavable" (Hubbard); "have content" (Burkill); "contented" (Loomis and Sternberg).

https://en.wikipedia.org/wiki/Indicator_function
Indicator function
This article is about the 0-1 indicator function. For the 0-infinity indicator function, see characteristic function (convex analysis).
For example, the Dirichlet function is the indicator function of the rational numbers as a subset of the real numbers.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E7%A4%BA%E9%96%A2%E6%95%B0
指示関数
指示関数（indicator function）、集合の定義関数[1]、特性関数（characteristic function）は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である[注釈 1]。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/482

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