ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
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334: １３２人目の素数さん [] 2024/02/01(木) 18:35:53.97 ID:nkXreRAg

>>333
なるほど
まだ、やる気かなｗ

ではｗｗ

(参考)
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/
浅野　晃の講義 関大

http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2016a/AMA/2016a_ama14.pdf
2016年度秋学期　応用数学（解析）　
第１４回第５部・測度論ダイジェスト／　
ルベーグ測度と完全加法性

測度論とは，「ものを測る」ことの本質を考える数学の分野です。長さ，面積，体積，質量など，ものを測るにはいろいろな測り方がありますが，これらをあわせて，何かを測った結果を測度(measure)といいます。測度論では，測るとは何か、測ることのできる集合とは何か，といったことを学びます。この「測度論ダイジェスト」第１回では，測度論誕生のきっかけになった「疑問」を説明し，集合の基本的な測り方であるルベーグ測度，測度の持つべき基本的な性質である完全加法性，そしてその帰結として現れてきた零集合について説明します。

積分に対する疑問定積分を習った時に，「任意のaについて，関数f(x)のaからaまでの積分は0，すなわち∫ a a f(x)dx=0である」すなわち「幅が0の積分は0」ということを習ったと思います。ということは，図1(a)のように，積分∫ q p f(x)dxから，pとqの間にあるaのところだけ幅0の線を抜き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減らないということになります。幅0の積分は0なのだから，aの１カ所だけでなく，図1(b)のように幅0の線を何本抜き取っても，やはり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば，pとqの間にあるすべての有理数の位置にある幅0の線を抜き取っても，すなわち可算無限個の線を抜き取っても，やはり面積は減らないのでしょうか？どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，より精密にとらえる必要があることを示しています。

ジョルダン測度これまで，定積分は「区分求積法」として習ったと思います。これは，ある関数の積分区間を「重なりのない，有限個の」区間に分けて，その上に，その関数のグラフの下の部分におさまるように配置した長方形（図
2(a)）と，グラフの下の部分を含むように配置した長方形（図2(b)）を考えます。

区間の分け方をさまざまに変えたとき，前者の配置での長方形の面積の上限をジョルダン内測度，後者の配置での長方形の面積の下限をジョルダン外測度といい，両者が一致するときそれをジョルダン測度といいます1。この例のような２次元の場合，このジョルダン測度をこれまで「面積」とよんできました。このように面積が測れる図形（一般には測度が定められる集合）をジョルダン可測であるといいます。

ルベーグ測度ジョルダン測度では「有限個の長方形」を考えています。一方，定積分の定義では，長方形の面積の「極限」を考えています。しかし，第４回の講義で説明した「極限」の意味を考えると，面積の極限を考えることは，無限個の長方形を考えることとは違うことがわかります。面積の極限とは，長方形を好きなだけ細かく分ければ，その極限に好きなだけ近づけることができる，という意味であって，あくまで有限個の長方形について想定されているものです。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/334

335: １３２人目の素数さん [] 2024/02/01(木) 18:36:11.02 ID:nkXreRAg

つづき

可算無限個の長方形を使った測度を考えます。図形（平面の有界な集合）Sを，重なりを許した
可算無限個の長方形I1,I2,...で覆ったとき，それらの長方形の面積I1, I2,...の和の下限inf ∞ ? i=1 IiをSのルベーグ外測度といい，m∗(S)で表します。

カラテオドリの意味の可測性もなりたつことが知られています。より一般的には，上の性質１〜３を満たすm∗を外測度といい，それがある集合に対してカラテオドリの意味で可測であるとき，その集合を可測集合といい，その外測度を測度とよびます。

零集合と「ほとんどいたるところ」
ここまでの議論をふまえて，最初の「有理数全体の幅」の問題を考えます。ここまでは平面上の図形を長方形で覆うイメージを思い浮かべてきましたが，ここでは，数直線上のある集合を「区間」を組み合わせて覆うことを考えます。有理数は可算無限個あるので，ジョルダン測度の考え方で「幅」を考えることはできません。そこで，ルベーグ測度で考えます。有理数は可算ですから，通し番号をつけてa1,a2,...an...と表すことができます。ルベーグ測度の考えでは，有理数の集合が数直線上でもつ幅は，有理数全体を区間の組み合わせ（重なってもよいことに注意）で覆ったときの，区間の長さの合計の下限です。そこで，εを任意の正の数とし，a1を幅ε/2の区間で，a2を幅ε/2^2の区間で，・・・，anを幅ε/2^nの区間で覆うとします。このとき区間の長さの合計は
ε/2+ ε/2^2+・・ + ε/2^n+・・ =ε
となります。εは任意の正の数ですからいくらでも小さくすることができるので，区間の長さの合計の下限は0となります。すなわち，有理数全体のルベーグ測度は0となります。

したがって，最初の問題
で，積分区間内の有理数に対応する線を，積分からすべて抜き取っても，積分の値（面積）は変わらない，ということになります。ルベーグ測度に対する有理数の集合のように，測度が0である集合のことを零集合といいます。また，「測度0の集合を除いた部分で」ということを，ほとんどいたるところ5で，といいます。次回は，ルベーグ測度を基盤として構成された積分（ルベーグ積分）によって，これまで学んだ積分（リーマン積分）では表現できない積分を表すことを考えます。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/335

336: １３２人目の素数さん [] 2024/02/01(木) 18:43:54.44 ID:nkXreRAg

>>333
なるほど
まだ、やる気かなｗ
ではｗｗ

(参考)>>305
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/
西谷達雄,Department of Mathematics Osaka University
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/Lebesgue.pdf
Lebesque積分 講義録

P2
序
f(x)を区間[0,1]上の関数とするとき，f(x)の導関数f0(x)は関数列fn(x)=n(f(x+1/n)−f(x))のn→1のときの極限関数であり，f(x)の原始関数(の一つ)は関数列Fn(x)=Pn k=1f(kx/n)x/nの極限関数である．このように，関数列の極限として新たな関数を導入する，という考え方は解析学の真髄といってよい．Riemann積分は，この関数列の極限操作との相性があまり良くない．これらのことから予想されるように，Lebesgue積分は，関数列の極限を考える，という操作と(Riemann積分に比べて)相性がよく，様々な議論が簡略になる．Lebesgue積分が必要とされる基本的理由のうちのもう一つを説明しておこう．微積分学で学んだように，実数の全体は完備である，すなわち隙間なくつまっている，このことは微積分の展開における礎石であった．このことは，Cauchy列は必ず収束する，ということと同値でもあった．さて，[0,1]区間上でその絶対値がRiemann積分可能な関数の全体を考えてみよう．このような２つの関数f(x),g(x)の間の”距離”を
∫ 0〜1  |f(x)−g(x)|dxで測ることは自然である．

今[0,1]上Riemann積分可能な関数列{fn}がこの距離でCauchy列になっているとする．
このときあるRiemann積分可能な関数f(x)があって
∫ 0〜1  |fn(x)−f(x)|dx→0, n→1となるであろうか？

すなわちこのような関数の全体は完備であろうか？
残念ながらこのことは成立しない．これに対して，Lebesgueの意味で積分可能な関数の全体は完備である．
この事実は，Lebesgue積分可能な関数の全体の上で様々な解析をおこなうときに基本的な役割を果たす．
積分の一般論の構成方法としては，一般的には，Lebesgue方式とDaniell方式の２通りの方法がある．
Lebesgue方式(1902)では公理論的な測度論から出発し，そこから積分論を導く，という方法をとる．
一方Daniell方式(1918)では，基本関数族の上における基本積分の概念から出発し，まず積分論を構成し，積分論から測度理論を導く，という方法をとる．
ここではDaniell方式に従ってLebesgue積分論を解説することにする．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/336

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