ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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756: １３２人目の素数さん [] 2024/05/11(土) 00:10:48.55 ID:k0FyGno+

>>753
なるほど

あまぞん
球面調和函数と群の表現 単行本 – 2018/7/26 日本評論社
野村隆昭 (著)
数学・物理学・工学など多くの分野に現れる《球面調和函数》について、表現論の観点から一貫した形でまとめられた本格的入門書。

5つ星のうち5.0 遅れて来た将軍
2019年4月27日
　このような重要書作物が、今まで日本で出版されなかった事自体が不思議。
整数論の黒川・小山組が独占体制に入っているのが我慢出来なくなったのか……。
　杉浦光夫先生の『ユニタリ表現入門』の出版が2018年5月、野村先生の『球面調和関数と群の表現』が同年7月である。

susumukuni
5つ星のうち5.0 球面調和関数を中心に据え、等質空間上の調和解析とリー群のユニタリ表現が美しく交錯する様を描写する素敵な書
2018年8月29日

本書の主題は第6章「Laplacianと調和多項式」から第14章「L2(Rn)の既約分解」までに叙述されている。従って、第6章から読み始め、必要に応じて前半部と附章を参照するという読み方が良いと思う。第6章から第8章までで古典的理論に相当する部分が解説されている。特徴的な箇所として、ラプラス作用素とオイラー作用素の交換関係を利用した「Hobsonの公式」の導出、調和射影作用素の明示式（定理6.5.10）の提示、Hobsonの公式から導かれる同次調和多項式の特徴付け（定理6.5.19）と「Hecke等式」の導出、Rnの第n軸周りの回転で不変な球面調和関数は「帯球調和関数」と呼ばれ、斉次なものは1次元でありその基底として「超球多項式」が出現すること（定理7.3.8）やL2(Rn)のテンソル積分解の動径部分から「ラゲール多項式」が出現することの解説、Funk-Heckeの素晴らしい積分公式（定理8.1.3）の解説、などを挙げることができる。超幾何関数、特にヤコビ多項式やその特例であるゲーゲンバウアーの多項式（超球多項式）とその仲間たちが関係してくる所がこの理論の興味深く面白い所だろう。

リー群の等質空間の範例であるSn-1=SO(n,R)/SO(n-1,R)やH=SL(2,R)/SO(2,R)の上での調和解析、（コンパクト及び非コンパクト群の代表的な例といえる）これらのリー群のユニタリ表現に現れる興味深く個性的なL2空間、更に解析学に彩を添える古典的な特殊関数（超幾何関数、ヤコビ多項式とその仲間たち、ベッセル関数、など）の理論との神秘的ともいえる交流など、球面調和関数を中心に据えそれらが美しく交錯する様を色々な観点から描写する本書は数学が好きな方ならばぜひ読んでみたい書であろう。値段が少し高いのが玉に瑕であるが、お薦めの一冊と言える。

【追記： 2018.8.31】
　本書を読みながら、リー群の表現論と等質空間上の調和解析の面白さを教えられた山内・杉浦著『 連続群論入門 』と岡本清郷著『 フーリエ解析の展望 』の二冊が「優れた入門書である」ことを再認識させられた。興味がある方々は、これらの書のカスタマーレビューを併せてご覧頂きたいと思う。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/756

764: １３２人目の素数さん [] 2024/05/11(土) 08:11:24.65 ID:k0FyGno+

>>757-756
>>なんかゴールポストを動かしているな
>君がゴールを勘違いしてるだけ

ゴールを勘違いしているのは君だよ
１）再録>>754より
　”そもそもは、>>698”志村五郎は、著書で
「（数論志望以外の）大学生にガロア理論を教えても仕方ない　表現論教えたほうがいい」
　と書いてました”だった
　では、志村五郎のいう ガロア理論の代わりに教える「表現論」はどんなものなのか？
　それは、当然”ピーター・ワイルの定理”>>748ではないよねｗｗ
　もっと一般のいわゆる「表現論」です（下記 wikipedeiaのような）
　要するに、抽象的代数理論の群や環を、具体的なベクトル空間の線型変換、つまりは行列によって表現するものだ（下記）
　（志村氏は、それが（数論志望以外の）大学生にも、役立つ理論と考えたのだろう）”
２）さて、上記についてガロア理論で説明しよう
　3次方程式の解法にカルダノの方法がある（下記）
　3次方程式の解法に特化した説明に、一般ガロア理論から始める人はいない
　実際、3次方程式の解法は、ガロア以前に解かれていた
　歴史の示すところ、3次方程式や4次方程式の延長線上に、一般5次方程式の解法を探索することから
　ガロアは、いわゆる第一論文に到達した
　現代の代数学のガロア理論は、第一論文を含むより一般化した体の拡大と群との対応の理論だ
　ガロアが第一論文で示しているように、3次方程式の解法も彼の理論から説明できる
　しかし、繰り返すが、3次方程式の解法に特化した説明に、一般ガロア理論から始める人はいない！
３）同様に、周期表やd（電子）軌道の説明に、志村氏のいう（抽象的な）「表現論」から始める人はいない！(>>732に記した通りです)
　周期表やd（電子）軌道の説明は、一般ガロア理論に対する3次方程式の解法と同様に、もっと具体的なレベルから始める方が良いってこと

再度記すが、周期表やd（電子）軌道の説明に、志村氏のいう（抽象的な）「表現論」から始める人はいない
志村氏のいう（抽象的な）「表現論」とは、直結していない（>>754の通り）
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
三次方程式
カルダノの方法
一般の三次方程式の代数的解法は、カルダノの方法あるいはカルダノの公式として知られている
歴史
古代バビロニアでは、数表を用いて三次方程式の解の近似値を得ていた
三次方程式の代数的解法は、16世紀頃にボローニャ大学のシピオーネ・デル・フェッロによって発見されたとされる。デル・フェロの解いた三次方程式は
x3 + a1 x = a0 (a1 および a0 は正）
という形の物である
三次方程式の解法があるという噂を元にタルタリアは、独力かどうかは分からないが
x3 + a2 x2 = a0 (a2 および a0 は正）
の形の三次方程式を解くことに成功し、さらにはデル・フェロの三次方程式の解法にも辿り着いた
タルタリアが三次方程式の代数的解法を知っていると聞いたカルダノはタルタリアに頼み込み、三次方程式の代数的解法を聞き出すことに成功した。カルダノは、弟子のルドヴィコ・フェラーリが得た、一般的な四次方程式の代数的解法と併せて、三次方程式の代数的解法を出版したいと考えるようになった

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/764

778: １３２人目の素数さん [] 2024/05/11(土) 09:58:04.00 ID:k0FyGno+

>>760-763
ありがとう
それ（柳田先生）、面白いね

だが、きちんと読むと、量子力学と元素の周期律をツカミにして
Lie群とLie環の表現論入門をやっているってことだね

それはあたかも、>>764に示したごとく
3次方程式の解法にカルダノの方法を導入として
代数方程式のガロア理論を語るが如しだ

実際、下記の柳田先生のpdfをちゃんと読むと
表現論で、元素の周期律が全て説明できるわけではないことが分る
(あくまで第一近似で、スピンなどは天下りで導入している
　つまり表現論が、第一近似の部分の説明に使えるってこと。ここから、表現論の一般論を展開しているのです）

あんたが例示したものは、>>764の裏付けでしかないよね ；ｐ）

(参考)
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/2020MP1.html
2020年度秋学期 数理科学展望I (柳田担当分)

講義ノートのpdf (ver. 2020.12.21)
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/20W/2020MPI.pdf
内容
この講義では, 量子力学の話題を動機とした Lie群とLie環の表現論の入門的説明を行います.

P11 元素の周期律
原子を正確に記述しようとすると多体の量子力学系を考えなければならないが,
ここでは第一近似として一つの電子に注目し,
原子核と自分自身の電子達がつくる球対称のポテンシャルの中で運動している状況を考えよう
(このような近似の仕方を中心力場の近似という).
すると注目している電子の運動は,
スピンの自由度を除くと,
水素原子型Schr¨odinger方程式で記述できる.
ここでスピンについて簡単に説明しよう.
電子は空間の自由度だけでは記述できない内部自由度を持ってい
ることが(実は周期表の構造から逆説的にも)
知られていて, mS := ±1/2の二つの値を持つ.

P12
さて,原子の基底状態,
つまりエネルギーが最低の状態では,
電子は低いエネルギー状態から順番に電子殻を埋めていく(構造原理).
前副節の結果だとエネルギーはnの値のみに依存しているが,
それは中心力場の近似で考えていることによるもので,
実際には遮蔽の効果(他の電子の分布の影響)によってlの値にも依存する.
その為4s状態のエネルギーは3d状態のエネルギーより小さくなり,
同様に5s状態のエネルギーは4d状態
のエネルギーより小さくなる.
エネルギーが小さい順に電子軌道を並べると以下のようになる.
　表略す
下段にn + lを記したが, n + lが小さい順に並んでいるのは経験則に過ぎず,
例外もある.

以上で周期表の説明の準備が整った.
周期表の左上から順番に原子を見ていき,各原子について原子番号分の数の電子を低いエネルギー準位の電子軌道に埋めていく.
原子番号が10以下の場合を考えると,
略
周期表のa行目を第a周期と呼ぶが,第a周期において“最も外に位置する”電子軌道,
つまり最後に埋まる電子軌道とその状態の数をまとめると表1.4.2のようになる.
また周期表の構造と“最も外に位置する”電子軌道の関係を図1.4.1に表した.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/778

789: １３２人目の素数さん [] 2024/05/11(土) 13:12:15.87 ID:k0FyGno+

>>782
>>まあ、君くらい自分が前に言ったことと
>>逆のことを平気で言える人はめずらしい
>ガロア理論の応用範囲に比べて表現論のそれは遥かに広いです
>表現論は、数学のみならず、原子構造を調べるときなど物理や工学などにも応用出来ます

やや、これは失礼。サイコパスのおサルと人違いをしていた
大変失礼しました ｍ（＿＿）ｍ

表現論ねぇ。ゲージ理論で、ある物理学者が 対称性の表現に ヤング図形の数学論文を探して、ロシアの論文を読んだ話を思い出した
いま”ゲージ理論 ヤング図形”で検索すると、下記の 中島 啓 - Kavli IPMUがヒット（下記）
中島 啓氏は、自称”表現論”屋かもしれない ；ｐ）

(参考)
https://www.ipmu.jp/sites/default/files/2024-03/monoshiri-17.pdf
中島 啓 - Kavli IPMU
2024/03/30 — 理論物. 理学に起源を持つゲージ理論の数学的なアプローチと、その表現論への ... ヤング図形. です。 ヤコビの. 三重積公式。 この ... ゲージ理論. クォーク.

表現論
数学では、あるものを行列で表すことを「表現」と呼ぶ。表現論は、あるものを行列
でどのように表すことができるのか考えたり、複数の表し方があったときにその間
にどのような関係があるのかを調べたりする数学の分野だ。行列は数が長方形に
並んでいるもので、数学の中では具体的な対象であるとみなされ、扱いやすい。そ
の一方で、行列ではABとBAのような掛ける順番によって答えが異なり、扱いが難
しい。中島さんが扱うのは、行列を幾何学の手法を用いて扱って「表現」を構成す
る幾何学的表現論と呼ばれる分野で、20世紀の後半に大きく発展した。

ゲージ理論にある「材料」と、クーロン枝
という「料理」はもともと知られていた。た
だ料理をどうやってつくるのか、そのプロ
セスについては厳密な説明がな
かった。中島さんは数学の表現論の
テクニックを使い、クーロン枝を数
学的にどう定義したらよいのか見出した。
現できる。「数学と物理学の神秘的な結
びつき」と語るKavli IPMUの数理
物理学者、周业浩さんもその一人で中島さ
んとよく議論しているという。レシピを描
いたことで、これまではっきりとしていな
かったクーロン枝と「ヒッグス枝」との関
連も見えてきた。これがまた数学的にとて
も面白いと中島さん。近年、多くの研究者
の関心が集まる分野だ。

研究者へ10の質問!
他分野の研究を
どのくらい
知っていますか?

物理における
ゲージ理論の研究を
ある程度
フォローしていますが、
他分野と言えるかというと
微妙です。

周业浩 じょう・いぇはお●Kavli IPMU特任研究員。
他分野の研究を
どのくらい
知っていますか?

箙えびら多様体
です。
まずは数学の
大学院に進学して
最先端の研究に
触れることです。
分野によります。
物性物理学や、代数幾何学、
表現論など自分の研究に
関係のある分野については
遅れを取らないようにしています。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/789

801: １３２人目の素数さん [] 2024/05/11(土) 15:53:33.58 ID:k0FyGno+

追加参考

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/lec-j.html
柳田伸太郎
名古屋大学 大学院多元数理科学研究科
過去の講義・セミナー

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/2018WA.html
2018年度前期 代数学IV/代数学概論IV
代数曲線の入門的な講義です.
前半は代数幾何学的の初歩を復習しつつ代数曲線論の入門を行います.
後半では以下の項目を扱う予定です.

閉Riemann面, 代数関数体, 非特異射影曲線の三位一体
周期とTorelliの定理

10/04 スキーム論の初歩1, 1.5節まで
連絡事項 (ver. 0.5), 講義ノート (ver. 0.5), レポート問題 (ver. 0.2).
10/11 スキーム論の初歩2, 2.5節まで
講義ノート (ver. 0.4), レポート問題 (ver. 0.1).
10/18 因子, 3.4節まで
講義ノート (ver. 0.4), レポート問題 (ver. 0.1).
10/25 射影多様体, 4.2節まで
講義ノート (ver. 0.2), レポート問題 (ver. 0.1).
11/01 層のコホモロジー, 5.4節まで
講義ノート (ver. 0.3), レポート問題 (ver. 0.1).
11/08 微分形式
講義ノート (ver. 0.3), レポート問題 (ver. 0.1).
11/15 Riemann-Rochの定理
講義ノート (ver. 0.3), レポート問題 (ver. 0.2).
11/22 線形系 8.3節まで
講義ノート (ver. 0.4). レポート問題 (ver. 0.1).
11/29 月曜授業予備日のため休講
12/06 出張のため休講
12/13 GAGA
講義ノート (ver. 0.2), レポート問題 (ver. 0.1).
12/20 三位一体
講義ノート (ver. 0.2), レポート問題 (ver. 0.1).
01/10 複素トーラスとAbel多様体 11.2節まで
講義ノート (ver. 0.4). レポート問題 (ver. 0.1).
01/17 Jacobi多様体 12.2節まで
講義ノート (ver. 0.4). レポート問題 (ver. 0.2).
01/24 Torelliの定理 12.5節まで

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/bs-j.html
2022年度 卒業研究 (4年生, 通年; 代数的表現論)
卒業研究(4年生)の紹介

担当年度の内容
2024年度 (予定): 頂点代数入門. ガイダンス資料.
3人 (大学院進学希望):
Carter, "Lie Algebras of Finite and Affine Type" (Cambridge).
Frenkel, Ben-Zvi または Arakawa, Moreau.
2022年度: 表現論の基礎. ガイダンス資料.
1人 (大学院進学希望):
谷崎, "リー代数と量子群" (共立出版).
Frenkel, "Langlands correpondence for loop groups" (Cambridge).
2人 (教員志望):
平井, "線形代数と群の表現" (朝倉書店).
2020年度: 代数幾何の基礎. ガイダンス資料.
1人 (大学院進学希望):
廣中, 森, "代数幾何学" (京都大学学術出版会).
Cutkosky, "Introduction to Algebraic Geometry" (AMS).
2017年度: Lie群とLie環. ガイダンス資料, 追加資料.
2人 (大学院進学希望):
小林, 大島, "Lie群と表現論" (岩波書店).
3人 (教員志望):
岡田, "古典群の表現論と組み合わせ論" (培風館).

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/801

825: １３２人目の素数さん [] 2024/05/11(土) 23:33:49.06 ID:k0FyGno+

>>823
>>>818
>>中味空っぽの呆けさん”は、よく見てくれていますね
>トンデモさんは呆けさんを間違えている
>とおもうけど　たぶん

なるほど
１）しかし、>>815”中身が無いと正直に認める一般人のほうがはるかにすばらしい”
　と、自己弁護ととれる書込みをしたので、彼にも思い当たるところがあるってことだね
２）で ともかく、彼（>>815氏）の今日の書込みを見ると
　下記の通り Total 49 投稿中、ほとんど数学的な中身ないよね ；ｐ）

(参考)
http://hissi.org/read.php/math/20240511/U29UM0ZvLzA.html
2024年05月11日 > SoT3Fo/0
1 位/61 Total 49

（以下、発言抜粋）
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6
757  07:34:42.23
君がゴールを勘違いしてるだけ

760  08:01:22.73
数学嫌いのいっちゃんの
761  08:04:11.27
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/2020MP1.html

762  08:05:29.64
この講義では, 量子力学の話題を動機とした
Lie群とLie環の表現論の入門的説明を行います.
763  08:06:01.01
教科書は指定しません. 主な参考書として次の2つを挙げます.

765  08:24:00.35
あああ、いっちゃん、自分の無知無能の正当化のために
766  08:30:59.23
そういう人は数学板から失せたほうがいいよ　ここでは

768  08:42:58.86
ついでにいうと
770  08:49:34.44
いっちゃんにそんな難しい話しても理解できないよ

771  08:51:38.91
いっちゃんがAI好きなのもわかる
773  09:01:47.41
面白いことに自分では数学大好きだと思ってるのに

776  09:14:13.60
いっちゃんも悟って楽になれ
785  11:45:01.63
数学は全く無縁だからもう数学は一切忘れていいよ

786  11:47:05.13
でもいっちゃんの三十ン年の勤め人生活で
792  15:38:26.57
いっちゃん　無礼討ちな

795  15:41:39.47
いっちゃんにとって重要なのは
796  15:42:33.06
大阪町人いっちゃん、武士である教授様に媚びへつらう

797  15:46:17.58
いっちゃんにとって
798  15:48:47.66
いっちゃんは差別が当然の江戸時代の人

799  15:50:56.41
いっちゃんは会社でも
800  15:51:59.82
そして、こともあろうに

813  19:09:43.09
>>811　図星でしたか
814  19:12:15.58
大阪町人のいっちゃんが武士？の元教授には

816  19:28:29.65
なんか沢山の字数で威圧しようと思ってるんだろうけど
819  20:29:49.96
理解もできない文章のコピペで中身を偽装する詐欺師よりも

820  20:30:50.59
結論　いっちゃんはアマではなく詐欺師

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/825

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