ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
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538: １３２人目の素数さん [] 2024/02/17(土) 10:42:24.71 ID:ZkaCY50W

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再録
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/kaisekigairon2-part1.pdf
解析概論II第1部(多変数関数の積分)桂田祐史2005年12月6日 明治大
序
この文書は明治大学数学科2年生後期の講義科目「解析概論II」の第1部(内容としては多変数関数のRiemann積分を扱う)の講義ノートである。

P16
Lebesgue積分について独習したい人には、志賀[9],新井[1]、授業の参考書としては伊藤[2]、歴史的なところに興味がある人には、もちろんルベーグ[29],それと見過ごされやすそうな3吉田[26]を勧める。
[26]吉田耕作,現代解析入門後篇「測度と積分」,岩波書店(1991).

P21
1.2 Jordan可測集合上の積分

P24
1.3二つの零集合
1.3.1はじめに
そこで「Jordan零集合」と「Lebesgue零集合」という表現を採用することにした。…余談になるが、あるとき解析概論IIで(Lebesgue)零集合を取り上げることを某先生から
非難されたことがある。今一つ真意がはっきりしない物言いだったのだが、Lebesgue測度論(積分論)の概念を密輸入してペダンティックなことをやっている、という意味であると解釈した。確かにLebesgue零集合はLebesgueが定義したもので、(Riemann)可積分条件の定理もLebesgueが得たものであるが、Lebesgue零集合の定義にLebesgue測度は必要ないし、可積分条件の定理もLebesgue積分に関する定理ではなく、あくまでRiemann積分に関する定理である。そして—ここが大事なところだが—この定理は美しい。また一度この定理を得ると大変に見通しがよくなり、その後の議論の歯切れがよくなる。20世紀に多くの微積分の教科書が書かれたわけだが、このLebesgueの定理を紹介していないものが多いのは、もったいないと思う。

P25
1.3.2 Jordan零集合—Riemann積分で無視可能な集合

P28
1.3.3 Lebesgue零集合—Riemann積分の可積分条件の記述(この節の記述は、主にスピヴァック[14]による。)
この節の目的
前節の議論だけでは、可測性、可積分性(積分可能性)のイメージがつかみずらいだろうから、少し補足する。
授業では定理の紹介するが、証明はしない(一応書いておくが)。大意をつかんでもらえれば十分と考えている。
「Lebesgue零集合」という“小さい”集合を定義しておくと、
ΩがJordan可測⇐⇒ Ωの境界がLebesgue零集合である
有界関数f:Ω→Rが積分可能である⇐⇒ fの不連続点全体の集合がLebesgue零集合である
のようにきれいに可測性、可積分性が判定できる、というのがミソである

https://www.weblio.jp/content/%E3%83%9A%E3%83%80%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF
衒学者 (ペダンティック) 『ウィキペディア（Wikipedia）』
衒学者（英語: pedant）とは、論理の形式、厳密性、正確性などに過剰にこだわったり、学識をひけらかし傲慢な態度を見せるような人物のこと
語源
「pedant」は、フランス語の「pédant」（1566年の Darme & Hatzfeldster『Dictionnaire général de la langue française』に見える）、ないしはそれに先行した15世紀半ばのイタリア語の「pedante」（「教師」、「校長」などを意味する）を語源としている

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/538

539: １３２人目の素数さん [] 2024/02/17(土) 11:18:39.42 ID:ZkaCY50W

つづき（関連部分追加）

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/kaisekigairon2-part1.pdf
解析概論II第1部(多変数関数の積分)桂田祐史2005年12月6日 明治大

P11
定義1.1.3(閉方体のJordan測度)Rnの閉方体A=[a1,b1]×[a2,b2]×···×[an,bn]のn次元ジョルダンJordanそくど測度(n-dimensionalJordanmeasure)を(b1−a1)(b2−a2)···(bn−an)と定め、記号µ(A)で表す: µ(A) def. =(b1−a1)(b2−a2)···(bn−an).
1次元Jordan測度は長さ、2次元Jordan測度は面積(area)、3次元Jordan測度は体積(volume)になっていることが分かる。
すなわちJordan測度というものは長さ、面積、体積の拡張概念である。
ここでは閉方体に対してのみJordan測度を定義したが、後でより一般の図形に対してJordan測度を定義する。

P12
定義1.1.4(下限和、上限和)
略す

1.1.2分割の細分
略す

P15
1.1.3下積分,上積分,積分可能性,積分の定義
定義1.1.7(有界関数の閉方体上の下積分、上積分)
略す

定義1.1.8(閉方体上のRiemann積分の定義)
略す

P16
注意(3)ここで定義した積分は詳しくはRiemann1積分と呼ばれる。ルベーグLebesgue2積分と呼ばれる、より一般の積分もあり、3年生で学ぶ。性質の良い関数、積分範囲について二つの積分は一致する。蛇足: Lebesgue積分の方がより性質の悪い関数、積分範囲を扱うことが出来る(例えば、すぐ後で紹介する無理数と有理数で場合分けした関数も、Lebesgue積分としては積分可能になる)。さらに項別積分などの極限と積分の順序交換が比較的楽にできるという長所を持つ。もともと積分の定義が深く研究されるようになったのは、Fourier級数などの解析学上の問題がきっかけである。「任意の関数は、積分を用いて定義されるFourier係数で作られたFourier級数で表現できる」という言明を正当化する過程で、関数の定義、積分の定義を突き詰めて考える必要が生じた。なお、Lebesgue積分について独習したい人には、志賀[9],新井[1]、授業の参考書としては伊藤[2]、歴史的なところに興味がある人には、もちろんルベーグ[29],それと見過ごされやすそうな3吉田[26]を勧める。

P17
1.1.4積分可能性条件以下しばらくどういう場合に積分可能か?という問題を考える。
定理1.1.1(積分可能であるための必要十分条件)AをRnの閉方体、f:A→Rを有界関数とするとき、
fがAで積分可能⇐⇒(∀ε>0)(∃∆:Aの分割)s.t.U(f,A,∆)−L(f,A,∆)≤ε.
証明
略す

与えられた関数が積分可能であるための、具体的な十分条件としては「関数が連続である」というのがある。これを次に示そう(後で、より一般化したシャープな定理を紹介する)。
定理1.1.2(閉方体上の連続関数は積分可能である)AをRnの閉方体、f:A→Rを連続関数とするとき、fはAで積分可能である。証明 AはRnの有界閉集合であるから(コンパクト集合であり)、その上で定義された連続関数fは次の性質を持つ。
略す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/539

541: １３２人目の素数さん [] 2024/02/17(土) 11:19:24.83 ID:ZkaCY50W

つづき

P21
1.2 Jordan可測集合上の積分
この節のあらすじ
まず前節で定義した積分を用いて、一般の図形(Rnの部分集合)のn次元Jordan *a測度を定義する:
µ(Ω):= ∫A χΩ(x)dx (ただしAはA⊂Ω◦となる閉方体、χΩはΩの特性関数).
すべての図形がJordan測度を持つとは限らない。
Jordan測度を持つ集合のことをJordan可測集合と呼ぶ。
Jordan可測集合Ω上で定義された有界関数f:Ω→Rの積分は次のように定義する(Dirichlet,1839年)。
∫Ω f(x)dx:= ∫A f(x)dx, f(x):= f(x) (x∈Ω), 0 (x∈A＼Ω).
*a Camille Jordan(1838–1922).

図形ΩのジョルダンJordan測度とは、Ωの特性関数(characteristicfunction)χΩの積分である。(ある空間の部分集合の特性関数とは、その部分集合上で1,補集合上で0となる関数のことである。つまり
χΩ(x) def. = 1 (x∈Ω) 0 (x∈Ωc)
で定義される関数χΩである。しばしばΩの定義関数とも呼ばれる。)
以下にあげる二つの定義は、直観的にも納得しやすいものなので、必ず理解してもらいたい。注意事項も多いが、最初は飛ばして、大筋をつかんでから、読み直してもらえればよい

P22
定義1.2.1(Jordan可測集合)ΩをRnの有界集合とする。
Ωがn次元Jordan可測(n-dimensionalJordanmeasurable)とは、積分∫A χΩ(x)dxが存在することと定義する。
ここで
(1)AはΩ¯⊂A◦となる閉方体 *a。
(2)χΩはΩの特性関数。すなわちχΩ(x):= 1 (x∈Ω) 0 (x∈Ω)である。
このときµn(Ω)=µ(Ω):= ∫A χΩ(x)dxを
Ωのn次元Jordan測度(n-dimensionalJordanmeasure)と呼ぶ。
*a 記号の復習:Ω¯はΩの閉包、A◦はAの内部を表す。

注意1.2.3
Rnの有界な部分集合Ωに対して、Ω¯⊂A◦となる閉方体を一つ取るとき、
ΩがJordan可測⇔χΩがAで積分可能⇔U(χΩ,A)=L(χΩ,A).

P23
定義1.2.2(Jordan可測集合上の積分の定義)
略す
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/541

546: １３２人目の素数さん [] 2024/02/17(土) 15:17:13.17 ID:ZkaCY50W

>>544 補足
>　図形Ωの特性関数(characteristicfunction)χΩの（リーマン）積分で、Jordan測度を定義している
>　また”Jordan可測(n-dimensionalJordanmeasurable)とは、積分∫A χΩ(x)dxが存在することと定義する”
>　とある（特性関数とは、その部分集合上で1,補集合上で0となる関数のこと）

下記、”A bounded set is Jordan measurable if and only if its indicator function is Riemann-integrable, and the value of the integral is its Jordan measure.[1]”
ですね

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano%E2%80%93Jordan_measure
Peano–Jordan measure
Extension to more complicated sets
It turns out that all rectangles (open or closed), as well as all balls, simplexes, etc., are Jordan measurable. Also, if one considers two continuous functions, the set of points between the graphs of those functions is Jordan measurable as long as that set is bounded and the common domain of the two functions is Jordan measurable. Any finite union and intersection of Jordan measurable sets is Jordan measurable, as well as the set difference of any two Jordan measurable sets. A compact set is not necessarily Jordan measurable. For example, the fat Cantor set is not. Its inner Jordan measure vanishes, since its complement is dense; however, its outer Jordan measure does not vanish, since it cannot be less than (in fact, is equal to) its Lebesgue measure. Also, a bounded open set is not necessarily Jordan measurable.
For example, the complement of the fat Cantor set (within the interval) is not.
A bounded set is Jordan measurable if and only if its indicator function is Riemann-integrable, and the value of the integral is its Jordan measure.[1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Indicator_function
In mathematics, an indicator function or a characteristic function of a subset of a set is a function that maps elements of the subset to one, and all other elements to zero. That is, if A is a subset of some set X, then
{1}_{A}(x)=1 if  x∈ A, and
{1} _{A}(x)=0 otherwise, where {1} _{A} is a common notation for the indicator function. Other common notations are I_{A}, and χ_{A}.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%B8%AC%E5%BA%A6
ジョルダン測度

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/546

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