ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
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538(1): 2024/02/17(土)10:42 ID:ZkaCY50W(1/7) AAS
>>502 戻る

再録
外部ﾘﾝｸ[pdf]:nalab.mind.meiji.ac.jp
解析概論II第1部(多変数関数の積分)桂田祐史2005年12月6日明治大
序
この文書は明治大学数学科2年生後期の講義科目「解析概論II」の第1部(内容としては多変数関数のRiemann積分を扱う)の講義ノートである。

P16
省25

539(1): 2024/02/17(土)11:18 ID:ZkaCY50W(2/7) AAS
つづき（関連部分追加）

外部ﾘﾝｸ[pdf]:nalab.mind.meiji.ac.jp
解析概論II第1部(多変数関数の積分)桂田祐史2005年12月6日明治大

P11
定義1.1.3(閉方体のJordan測度)Rnの閉方体A=[a1,b1]×[a2,b2]×···×[an,bn]のn次元ジョルダンJordanそくど測度(n-dimensionalJordanmeasure)を(b1−a1)(b2−a2)···(bn−an)と定め、記号µ(A)で表す: µ(A) def. =(b1−a1)(b2−a2)···(bn−an).
1次元Jordan測度は長さ、2次元Jordan測度は面積(area)、3次元Jordan測度は体積(volume)になっていることが分かる。
すなわちJordan測度というものは長さ、面積、体積の拡張概念である。
省24

540(1): 2024/02/17(土)11:18 ID:ZkaCY50W(3/7) AAS
つづき

P18
1.1.5積分の基本的な性質命題1.1.1(積分の基本的な性質)AをRnの閉方体、f:A→R,g:A→RはAで積分可能な有界関数とするとき、次の(1)–(4)が成り立つ。
略す
この命題の証明は省略する。積分を次に説明するRiemann和を使って特徴づけておけば、ほとんど明らかである(和の持っている性質であるから)。

P19
Riemann和我々は上で、上積分と下積分が一致することを積分可能性の定義としたが、イントロダクションでも書いたように、Riemann和で定義する流儀もある。
省11

541(2): 2024/02/17(土)11:19 ID:ZkaCY50W(4/7) AAS
つづき

P21
1.2 Jordan可測集合上の積分
この節のあらすじ
まず前節で定義した積分を用いて、一般の図形(Rnの部分集合)のn次元Jordan *a測度を定義する:
µ(Ω):= ∫A χΩ(x)dx (ただしAはA⊂Ω◦となる閉方体、χΩはΩの特性関数).
すべての図形がJordan測度を持つとは限らない。
省25

544(2): 2024/02/17(土)12:26 ID:ZkaCY50W(5/7) AAS
さて、前振りはこの程度にして、問題に戻る
　>>308より
上関数と下関数の差がε未満になる範囲の
ジョルダン外測度とジョルダン内測度の差が0になる、
そのときに限りリーマン可積分

　>>439より
308は
省21

545: 2024/02/17(土)12:38 ID:ZkaCY50W(6/7) AAS
>>544
>西谷流に反しているのでは？

西谷流は、下記ですね

(参考) >>305より
外部ﾘﾝｸ:www4.math.sci.osaka-u.ac.jp
西谷達雄,Department of Mathematics Osaka University
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www4.math.sci.osaka-u.ac.jp
省6

546: 2024/02/17(土)15:17 ID:ZkaCY50W(7/7) AAS
>>544 補足
>　図形Ωの特性関数(characteristicfunction)χΩの（リーマン）積分で、Jordan測度を定義している
>　また”Jordan可測(n-dimensionalJordanmeasurable)とは、積分∫A χΩ(x)dxが存在することと定義する”
>　とある（特性関数とは、その部分集合上で1,補集合上で0となる関数のこと）

下記、”A bounded set is Jordan measurable if and only if its indicator function is Riemann-integrable, and the value of the integral is its Jordan measure.[1]”
ですね

(参考)
省12

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