ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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931: １３２人目の素数さん [] 2024/05/13(月) 09:50:27.38 ID:Ug9jJCvB

>>928
>長尾健太郎の息子は中学生だが
>数学者になりたいそうだ

・ゼニ金勘定の計算ならば、”数学者”が得な手かどうか？ それは、疑問だが
・もっと 得な手かどうかが疑問なのが、囲碁棋士です
・光永淳造さんが、灘高数学オリ−東大数学科出身なのは、知る人ぞ知る
・まあ、人生の選択ですから、ゼニ金勘定だけでは決まらんのよね ；ｐ）

(参考)
https://www.nihonkiin.or.jp/etc/go_weekly/tsururin067.html
日本棋院ホーム コラム
師匠は数学の大天才〜徐文燕初段が語る光永淳造六段「つるりん式観る碁のすすめ〜こぼれ話」
2022年11月21日 記・編集Ｋ

ここでは週刊碁連載中の「つるりん式観る碁のすすめ〜四字熟語編」で書ききれなかったこぼれ話を紹介します。（つる＝鶴山淳志八段、りん＝林漢傑八段）

今回も読者の方から頂いた四字熟語をご紹介。何にも縛られずに自分が求めるものをのびのびと追求する様子を表す「孤笈飄然」（こきゅうひょうぜん）に選ばれたのは、
棋士にして数学者の、光永淳造六段でした。
光永六段は名門、灘中学校・高等学校から東京大学理学部数学科に進学した超エリート。
灘高校在籍時に数学オリンピックで入賞するなど、早くからその数学の才能は知られていました。
大学でも数学者として将来を嘱望されたそうですが、囲碁という魔性のボードゲームに出会ってしまい一転、周囲の引き止めを振り切って棋士を生涯の職業として選択したそうです。

本コラムでは光永六段の代わりに光永六段の愛弟子、徐文燕初段にインタビューをしました。

――光永六段は東大理学部数学科のご出身ですが、教わる中で「ならでは」なことはありましたか？

徐）ヨセの説明がすごく上手で、とてもわかりやすいです。でも、100分の何とか、そこまで深くなると私はついて行けないのですが（笑）。たまにヨセコウが絡んだりして難しい計算になる時があって、先生に「よし、じゃあちゃんと計算してみようか」って言われることがあります。そういう時はだいたい「あ、いいです」ってお断りしています（笑）。

――光永六段も断られることを分かって聞いてみた、みたいな感じですか（笑）？

徐）そうですね（笑）。そういう冗談はよくあります。あと、中学生の時は学校で出た数学の宿題も教えてもらっていました。

――それは、「ならでは」ですね！いかがでしたか？

徐）すごくわかりやすくて、すぐにパパって解けました。

――文燕さんは数学がお好きなんですね。

徐）はい。好きですね。

――そうなんですね（笑）。最後に、光永六段の素敵だと思うところを教えてください。

徐）先生は優しいですけど、厳しいところもあって、囲碁だけじゃなくて、挨拶とか、言葉遣いとか、そういうのも間違っていたら直してくれます。そういうきちんとしたところが素敵なところです。

――なんだか、棋譜を見て文燕さんのコンディションが分かったり、数学の宿題を見てくれたり、礼儀作法や言葉遣いの指導もしてくれたり、学校の先生みたいですね。

徐）そう言われれば、確かにそういうところはあるかもしれませんね。

――ありがとうございました。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/931

972: １３２人目の素数さん [] 2024/05/13(月) 13:37:46.82 ID:Ug9jJCvB

>>952
>>非零因子行列は逆行列が存在し、正則と呼ばれる
>>その常識をさらりと述べた だけなのです
>常識じゃないけど
>行列の成分が体であればその通りだが
>行列の成分が環ならそうならない

以前に 下記 広大 松本眞先生 代数学II：環と加群 を紹介したけど、読んでないの？
ちゃんと読んだら？
"A∈Mn(R)がGLn(R)に入る必要十分条件は、AB=En=BAなるBが存在することになる。
このような行列を可逆行列という。
命題1.4.1. A∈Mn(R)が可逆である必要十分条件は、detA∈Rx (ここでRxはRの乗法についての可逆元のなす群）"
を百回音読願います ；ｐ）

(参考)
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/TEACH/kan-kagun7.pdf
代数学II：環と加群(注：5/28版：38ページ以降大幅書き直し予定)松本　眞1 2020 年5 月28 日
1広島大学理学部数学科

第1章環上の加群
1.4単因子論　19

P4
1.1 環上の加群
1.1.1 環、単位環、整域、体
環(R,+,0,x)とは、(R,+,0)が加法群であって、(R,x)が半群であり、左分配法則(a+b)xc=axc+bxc
と右分配法則cx(a+b)=cxa+cxbを満たすもの。
axbをしばしばa・bまたはabと書く。可換環とは、積が可換な環のこと。そうでないものを非可換環という。

単位環(R,+,0,x,1)とは、環であって、(R,x,1)がモノイドであるもの。
零環={0}も単位環である。
特に単位環であることが重要であるとき、つい「単位的環」と書くことがある。
整域とは、可換環であって、R-{0}が積についてモノイド（単位元を持つ半群）となるものを指す。
体とは、さらにR-{0}が群となるものを指す。
従って、零環は整域でも体でもない。
準同型、同型の「型」の字は「形」にはしないほうがいいかも知れないが、字の区別が僕には難しいので混用する。

P19
1.4単因子論
行列について。Rを可換環とする。Mn,m(R)でnxmの成分の行列の集合をあらわす。
成分ごとの和とスカラー倍により、ランクnmの自由加群Rとなる。
n=mのとき、Mn,m(R)をMn(R)で表す。積が入り、単位環となる。
その積に関する（モノイドの）可逆元の集合Mn(R)xは群をなす。
これをGLn(R)で表す。
A∈Mn(R)がGLn(R)に入る必要十分条件は、AB=En=BAなるBが存在することになる。
このような行列を可逆行列という。

命題1.4.1. A∈Mn(R)が可逆である必要十分条件は、detA∈Rx (ここでRxはRの乗法についての可逆元のなす群）。
証明. A˜をAの余因子行列とする。線形代数でならったようにAA˜=det(A)・En=AA˜である。
従って、det(A)がRの可逆元ならば1/det(A) ˜がAの逆元を与える。
逆に、Aが可逆ならばAB=Enのdeterminantをとってdet(A)det(B)=1、すなわちdet(A)∈Rx。

単項イデアル整域をPID*と書く。(注* 英: principal ideal domain; PID 主イデアル整域とも）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/972

981: １３２人目の素数さん [] 2024/05/13(月) 15:35:12.70 ID:Ug9jJCvB

>>977 >>979
>「可換環R上の行列が、可逆であるときそのときに限り、零因子でない」という嘘発言

・君はバカだね。いま、このスレの全発言に対して、キーワード”可逆であるとき”
　の検索をしたら、それ一つしかヒットなしだよ。つまり、他には発言無しで君の妄想か捏造だったねｗ

>体の場合はもちろん
>detA∈Rxでない⇒Aが零因子
>detA∈Rxでない⇒det(A)＝0
>がなりたつ
>なぜなら、体では零元以外は可逆元だから
>でも、体でない任意の可換環では、零元でないというだけでは可逆元とはいえない

やれやれ
・だから、”零因子の定義”を確認しろよ（下記だよｗ）
・「環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる」
　そして、下記零因子の引用冒頭「環の零因子（英: zero divisor）とは、環の乗法において、零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在するような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である」
　ってこと
・だから>>951での”正方行列は二つに分けられる　零因子行列と非零因子行列とに　そして、非零因子行列は逆行列が存在し、正則と呼ばれる”
　ここまではいいだろ？
・次の”零因子行列は、行列式が0（ゼロ）で、逆行列が存在せず、正則と呼ばれる”で、行列式が0（ゼロ）の部分を突っ込みたかったのかい？ｗ
　普通は、行列の成分は実又は複素数だけど（デフォルトだね）、
　成分を、環Ｒにとった場合には
　”零因子行列は、行列式が0（ゼロ）又は零因子になり、逆行列が存在せず、正則と呼ばれる”とでもすれがいいかな？ｗ

君が、何年か前の>>904のときよりも
少し進歩したことは認めてあげるよ。うれしいだろう？ｗ　；ｐ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子
環の零因子（英: zero divisor）とは、環の乗法において、
零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在する
ような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である。

定義
環 R の元 a は、ax=0 となる
x≠ 0 が存在するとき、すなわち
∃x∈R∖{0}:ax=0
を満たすときに左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる。
この定義では非零元の存在を要求するから、自明な環における0は零因子ではないが、自明な環以外では、0は必ず零因子となる。

同様に、環の元 a が右零因子とは、ある y ≠ 0 が存在して ya = 0 となることである。
左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる[2]。左かつ右零因子である元 a は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる（ax = 0 となる零でない x は ya = 0 となる零でない y とは異なるかもしれない）。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。

環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/981

991: １３２人目の素数さん [] 2024/05/13(月) 16:50:35.66 ID:Ug9jJCvB

>>987
(引用開始)
>成分を、環Ｒにとった場合には
>”零因子行列は、行列式が0（ゼロ）又は零因子になり、逆行列が存在せず、非正則と呼ばれる”
>とでもすればいいかな？
ダメだね
成分が、可換環Ｒの場合
「行列式が0もしくは零因子でなくても、単元でない場合には
　逆行列が存在せず非正則と呼ばれる」
(引用終り)

やれやれ
・抽象代数学壊滅の君に、下記の「行列環」という言葉を教えてあげるよｗ
・いま、ある可換環Ｒを成分とする 正方行列n×n 全体を考えると
　下記にあるように、環を成す
・その「行列環」における零因子を考えればいいだけのこと（それが零因子行列だ）
・>>904の話は、「行列環」という専門用語を知っていれば、それで終わりの話だよｗ　；ｐ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0
行列環
抽象代数学において、行列環 (matrix ring) は、行列の加法（英語版）および行列の乗法のもとで環をなす、行列の任意の集まりである。別の環を成分に持つ n×n 行列全体の集合や無限次行列環 (infinite matrix ring) をなす無限次行列のある部分集合は行列環である。これらの行列環の任意の部分環もまた行列環である。
R が可換環のとき、行列環 Mn(R) は行列多元環 (matrix algebra) と呼ばれる結合多元環である。この状況において、M が行列で r が R の元であれば、行列 Mr は行列 M の各成分に r をかけたものである。

行列環は単位元をもたない環上作ることができるが、終始 R は単位元 1 ≠ 0 をもつ結合的環であると仮定する。

例
・任意の環 R 上のすべての n×n 行列からなる集合。 Mn(R) あるいは Matn(R) や Rn×n と表記される。これは通常「n 次全行列環」(full ring of n by n matrices) と呼ばれる。これらの行列は自由加群 Rn の自己準同型を表す。
・環上のすべての上（あるいは下）三角行列のなす集合。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/991

995: １３２人目の素数さん [] 2024/05/13(月) 18:57:53.56 ID:Ug9jJCvB

>>992
(引用開始)
整数環Ｚ上の行列環を考える
行列
(1　0）
(0　2）
の整数環Ｚ上の行列環での逆行列は？　ないよね？
で、これって零因子行列？　違うよね？
(引用終り)

・なるほど、なかなかいいツッコミだね
・その話は、下記の松本眞 広大
　”命題1.4.1. A∈Mn(R)が可逆である必要十分条件は、detA∈Rx (ここでRxはRの乗法についての可逆元のなす群）”だね
　つまり、R＝Zとすると、Rx＝{1}つまり 整数環Z中には、1以外は逆元を持たないのです
　したがって、detA∈Rx となるときは、常にdetA＝１つまり、行列式が１ってことだね
・上記例示の行列（これ(1　0)と(0　2）とからなる行列（2行にわたるので1行におさめた））は、detA＝2で零因子ではないが（有理数体Qでは逆がある）
　逆行列も持たないね

まあ、下記の松本眞 広大 命題1.4.1. の通りってことで、謹んで訂正しますです、はい
ありがとね

(参考)>>972より再録
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/TEACH/kan-kagun7.pdf
代数学II：環と加群(注：5/28版：38ページ以降大幅書き直し予定)松本　眞1 2020 年5 月28 日
1広島大学理学部数学科

第1章環上の加群
1.4単因子論　19

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/995

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