ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

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609: １３２人目の素数さん [] 2024/03/24(日) 10:51:25.48 ID:Sn8bFT1W

Evans-Selberg potentialか Yύsaku Komatu先生ね
https://arxiv.org/abs/1704.00137
[Submitted on 1 Apr 2017]
Evans-Selberg potential on planar domains
Robert Xin Dong
We provide explicit formulas of Evans kernels, Evans-Selberg potentials and fundamental metrics on potential-theoretically parabolic planar domains.
https://typeset.io/pdf/relative-evans-potentials-2n46mjc2du.pdf
M._NAKAI KODAI MATH. SEM. REP. 26 (1975), 478-484
RELATIVE EVANS POTENTIALS
Dedicated to Professor Yύsaku Komatu on his 60th birthday BY MITSURU NAKAI
Ｐ479
a) An Evans-Selberg potential q(z, z0 ) on R is a harmonic function on R— {z0}
略す

Evans Hall は、これではない気がするが 貼ります
https://en.wikipedia.org/wiki/Evans_Hall_(UC_Berkeley)
Evans Hall (UC Berkeley)
Evans Hall is the statistics, economics, and mathematics building on the campus of the University of California, Berkeley.
Computer History importance
Evans Hall also served as the gateway for the entire west coast's ARPAnet access during the early stages of the Internet's existence; at the time, the backbone was a 56kbit/s line to Chicago.[1][2]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/609

610: １３２人目の素数さん [] 2024/03/24(日) 11:34:57.46 ID:Sn8bFT1W

メモ
https://konn-san.com/math/acoff-04.pdf
第4回選択公理オフ 数理論理学の初歩の初歩の初歩の…
早稲田数学科4年石井大海2013年

1はじめに
この発表では，数理論理学の初歩的な知識から始まって，構造の濃度に関するLöwenheim-Skolemの定理や，超積に関するŁośの定理*1)と選択公理の関係について述べます．これらは，数理論理学と呼ばれる分野の初歩的な結果です．数理論理学は集合論やモデル理論，証明論，計算理論など幾つもの分野に別れていますが，ここで扱うのはややモデル理論よりの結果です．数理論理学は数学という営為じたいを数学的に分析してみよう！ という分野ですので，はじめて見るぜ！ という人に関しても，普段自分達がやっている数学がどのように形式化され扱われるのかを鑑賞して頂ければと思います．また，以下では本質に関わらない記号の選び方云々に関しては，意図的に適当に書いて目を瞑ったところがあります．また，この発表ではモデル理論的な側面を強調して，証明論的な側面は殆んど触れられていません．しっかりとした数理論理学の導入をするのであれば，形式的証明の概念をしっかりと定義して，完全性定理によって意味と構文の関係を確立するという事をするべきですが，発表の都合上省略せざるを得ませんでした．数理論理学の入門には田中[11]や新井[9]，江田[10]，古森・小野 [7]などを，モデル理論の発展的な内容については坪井[8]を読むと良いでしょう．最初の内は無関係に見えるかもしれませんが，後程@alg_dさんの発表との関係も判然としてくる予定です

P14
実は，Löwenheim-Skolemの定理は選択公理と同値である．詳しい証明は第1回選択公理オフの際に非公式にやったらしいので，今から@alg_d氏が一分で証明してくれます．Löwenheim-Skolem の定理は，一階述語論理ではモデルの濃度を限定出来ないという主張である．これは単なる選択公理にまつわる不思議現象ではなく，しっかりとした応用がある

ZFが無矛盾だとすると，Gödelの完全性定理によりV |=ZFとなるようなモデルVが存在する．無限公理があるので，特にVは無限モデルである
よって，Löwenheim-Skolemの定理より，集合論の可算モデルU ⊆Vを取ることが出来る
えっ，でもCantorの対角線論法によれば，ℵ0 <2ℵ0だよね？ モデルが可算だったら，実数のような連続体濃度の集合は存在しなくなっちゃうんじゃないの？？ 矛盾だ！！！ という声が聞こえてきそうだ．しかし，これは矛盾ではない．そもそも「可算」などの濃度の概念がどのようにして定義されたか思い出そう
集合X とY の濃度が等しいというのは，XとYの間に全単射が存在するということであった
つまり，集合の濃度はその濃度の証拠となる関数の存在に依存するのだ．この場合，Uが可算であることを保証する全単射はVには属するが，Uには存在しないのだ．よって，V から見ればUは可算集合だが，Uの中から見れば全体は可算ではないし，それどころか「集合」ですらない，ということになる

こんな可算モデルを取って何が嬉しいのだろうか．集合論ではある命題がZFから独立であることを示す為に強制法という手法が良く使われる．選択公理も，この強制法を用いて独立性が示される重要な例である．強制法で用いられる道具の存在を示すために，ZFの可算モデルが取れるという事は非常に重要な前提条件になっているのである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/610

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