[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
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251: 2024/01/28(日)06:43 ID:DigaRTeo(1/7) AAS
>>248
>一つ質問に答えると、味をしめて 新たに二つ質問が
>それに答えると、また味をしめて 新たに二つ三つ質問が
>そしてエンドレスになる 見えているじゃん
>その手には乗りませんよ
>>249
>一つも答えてない輩の言う台詞じゃないな
省4
252: 2024/01/28(日)06:49 ID:DigaRTeo(2/7) AAS
>>246
＞（初級）リーマン積分の定義を書け
積分区間を、任意の小区間の集まりに細分し、その中からそれぞれ１点をとる
その１点での関数の値と小区間の長さを掛けた値の和をとる
小区間の細分によって、和の値がある値に収束するとき、
その収束値が関数の区間でのリーマン積分の値である
（収束の定義にはもちろん小区間の長さの最大値δと範囲εに関するε‐δ論法を使う）
253(3): 2024/01/28(日)06:58 ID:DigaRTeo(3/7) AAS
>>246
＞（中級）いかなる関数がリーマン可積分かその条件を書け
実は252でリーマン可積分の条件書いちゃったので、
同値な条件を一つ書いておく
R^n の有界閉区間 I 上の有界関数 f: I → R に対し、
f が I 上リーマン可積分であることと、
f がほとんど至るところ連続であること（※）は同値
省1
254(2): 2024/01/28(日)07:03 ID:DigaRTeo(4/7) AAS
>>246
（上級）問題は残しておくわｗ
ただ、リーマン可積分でない関数の例だけ示してあげるねｗ
区間[0,1]について有理数の点で0、無理数の点で1となる関数
これは区間の至るところで不連続なのでリーマン可積分でない
一方以下の関数はリーマン可積分である
区間[0,1]について有理数の点で1-1/n (nは既約分数の分母)、無理数の点で1となる関数
省1
255: 2024/01/28(日)07:14 ID:DigaRTeo(5/7) AAS
余談だけどリーマン積分は実は「ルベーグ式」にも定義できる
その場合、測度をルベーグ測度ではなく別の”測度”にする
さてその”測度”とは何で、ルベーグ測度とは何が違うでしょう？
ルベーグ可測だがその”測度”では非可測な集合の例は？
（ヒント >>254）
258: 2024/01/28(日)10:18 ID:DigaRTeo(6/7) AAS
>>256
リーマン可積分なら253で述べた通りほとんど至るところで連続である
一方、至るところで不連続といってる、これは矛盾である
したがってリーマン可積分でない ほら三行でいえた
259(8): 2024/01/28(日)11:27 ID:DigaRTeo(7/7) AAS
ちなみに>>253の証明なら以下
ほとんど至るところで連続
⇔ほとんど至るところの点を含むδ以内の区間でその中での関数の値の差がε以内になるようなものがとれ
δを小さくすればするほどその区間の合計の長さが元の区間の長さに収束する
⇔リーマン可積分
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