[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
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286(1): 2024/01/30(火)11:23 ID:0O1eEeBq(1/12) AAS
>>283
>>その測度が0でない場合は区分をいくら小さくしても上積分と下積分の差が0に収束させることができない
>これは測度の定義からすぐ出せますか？
カンニングですが、下記ですね
（>>266より再録）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Riemann integral
省7
287(3): 2024/01/30(火)11:23 ID:0O1eEeBq(2/12) AAS
つづき
If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure. Thus there is some positive number c such that every countable collection of open intervals covering X1/n has a total length of at least c. In particular this is also true for every such finite collection of intervals. This remains true also for X1/n less a finite number of points (as a finite number of points can always be covered by a finite collection of intervals with arbitrarily small total length).
For every partition of [a, b], consider the set of intervals whose interiors include points from X1/n. These interiors consist of a finite open cover of X1/n, possibly up to a finite number of points (which may fall on interval edges). Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable.
We now prove the converse direction using the sets Xε defined above.[9] ・・
(引用終り)
＜補足＞
１）Proofで、Darboux integral 外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
省12
288(1): 2024/01/30(火)11:24 ID:0O1eEeBq(3/12) AAS
つづき
この後、We now prove the converse direction は、各自ご参照ください
余談ですが、ある数学者の本の奥付に、囲碁７段格とあって やりすぎと思いましたが
囲碁用語の定石＆手筋で、数学を説明すると 分かりやすい
この方の場合、囲碁も数学の役に立っているのではと思っています ^^)
以上
289(1): 2024/01/30(火)11:30 ID:0O1eEeBq(4/12) AAS
>>287 訂正
２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zero→Darboux integral 不可」ですね
２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zeroでない→Darboux integral 不可」ですね
290(1): 2024/01/30(火)11:40 ID:0O1eEeBq(5/12) AAS
>>287-289 補足の補足
>２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zeroでない→Darboux integral 不可」ですね
> 背理法ですね。”If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure.”
えーと、対偶だったな？ (>_<)
「不連続の点の集合がmeasure zeroでない→Darboux integral 不可」
の対偶
「Darboux integral 可 → 不連続の点の集合がmeasure zero 」
省4
293(2): 2024/01/30(火)11:53 ID:0O1eEeBq(6/12) AAS
>>286 補足追加
>外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
>Riemann integral
>Integrability
>A bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). This is the Lebesgue-Vitali theorem (of characterization of the Riemann integrable functions).
この”A bounded function on a compact interval [a, b]”
「コンパクト区間[ a , b ]上の有界関数」
省2
294: 2024/01/30(火)11:56 ID:0O1eEeBq(7/12) AAS
>>291-292
漫才師か？ｗ
あんたは、ボケ役なのにｗｗ
必死にツッコミ役やっているｗｗｗ
295: 2024/01/30(火)11:56 ID:0O1eEeBq(8/12) AAS
まあ、”手筋”の意味が分かってないみたいだ
297(1): 2024/01/30(火)12:18 ID:0O1eEeBq(9/12) AAS
>>259-260
>ちなみに>>253の証明なら以下
> ほとんど至るところで連続
>⇔ほとんど至るところの点を含むδ以内の区間でその中での関数の値の差がε以内になるようなものがとれ
> δを小さくすればするほどその区間の合計の長さが元の区間の長さに収束する
>⇔リーマン可積分
>
省16
298(1): 2024/01/30(火)12:25 ID:0O1eEeBq(10/12) AAS
>>296
>>この有界の条件は、抜かさない方が良いようですね
> あんたやっぱり大学入ったことないだろ？ 無知すぎる
>>259 より
ほとんど至るところで連続
⇔ほとんど至るところの点を含むδ以内の区間でその中での関数の値の差がε以内になるようなものがとれ
δを小さくすればするほどその区間の合計の長さが元の区間の長さに収束する
省8
299: 2024/01/30(火)12:28 ID:0O1eEeBq(11/12) AAS
>>297 リンク訂正
>>259-260
↓
>>259-261
301: 2024/01/30(火)18:45 ID:0O1eEeBq(12/12) AAS
>>290 メモ
背理法について、下記の塩見浩三先生の説明が分かりやすいね
(参考)
外部ﾘﾝｸ[html]:www.chart.co.jp
数研通信（1号〜50号） 【教授用資料】 数研出版
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.chart.co.jp
数研通信 3号 数研出版
省11
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