ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6 (1002ﾚｽ)
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412: １３２人目の素数さん [] 2024/02/04(日) 10:21:33.17 ID:nLgILFYO

>>397
(引用開始)
>>385
>アーベルは完全な証明をしたはず。「虚数乗法を持つ場合」ね
笑える
・”完全な証明”の”完全”の定義は？
（アーベルが、虚数乗法を持つ場合の何を証明したのか？ｗ）
・”はず”？ なんだそれ？
・下記を見る限り、虚数乗法（complex multiplication）の大きな部分は
　クロネッカーの青春の夢（ヒルベルトの第12問題）で類体論でしょ？
(引用終り)

さて、宿題の前にこいつを片付けよう
・Cox ガロワ理論下 第15章 レムニスケートで
　15.4 虚数乗法、15.5 アーベルの定理
　となっている
・この15.5 アーベルの定理については
　”B 直定規とコンパスによる作図”とある節で
　ここで、レムニスケートのn等分につき
　直定規とコンパスによる作図できる条件の証明している
・一方、15.4 虚数乗法は、1850年のシェーネマン アイゼンシュタインなどを説明している
　内容は、ガウス整数に関係する
・15.5 アーベルの定理の”歴史ノート”に
　ガウスDAと、アーベルの定理 ”B 直定規とコンパスによる作図”との関係の解説がある
　ここに、アーベルに刺激を受けたクロネッカーが、アーベル拡大が円分拡大であること
　および彼の青春の夢をデデキント宛の手紙に書いたこと
　そして、1920年代に高木とフューターによって
　類体論と虚数乗法の定理の最初の完全な証明が与えられた
　と記す
・さて、高木「近世数学史談」 20 初発の楕円函数論 の最後で
　クラインの楕円函数論の評にたいして
　『アーベルの虚数乗法が最も適当であろうと我々は思う。
　クラインが好むにもせよ、虚数乗法が大物であることは歴史が明らかに示してる・・』
　と記す

纏めると、虚数乗法という用語は、アーベルの後の後世の人の命名のようです
虚数乗法は、ガウス整数あたりからDAには直には書かれなかったが
ガウスがほのめかしたレムニスケートの等分問題（これを解いて発表したのがアーベルで
上記の”B 直定規とコンパスによる作図”の項ご参照）などに発する
後、高木先生の類体論に繋がる

なお、虚数乗法は大きく捉えれば、>>397のwikipediaの記述の如く
ラングランズ哲学までつながって、未完の大物らしいね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/412

546: １３２人目の素数さん [] 2024/02/17(土) 15:17:13.17 ID:ZkaCY50W

>>544 補足
>　図形Ωの特性関数(characteristicfunction)χΩの（リーマン）積分で、Jordan測度を定義している
>　また”Jordan可測(n-dimensionalJordanmeasurable)とは、積分∫A χΩ(x)dxが存在することと定義する”
>　とある（特性関数とは、その部分集合上で1,補集合上で0となる関数のこと）

下記、”A bounded set is Jordan measurable if and only if its indicator function is Riemann-integrable, and the value of the integral is its Jordan measure.[1]”
ですね

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano%E2%80%93Jordan_measure
Peano–Jordan measure
Extension to more complicated sets
It turns out that all rectangles (open or closed), as well as all balls, simplexes, etc., are Jordan measurable. Also, if one considers two continuous functions, the set of points between the graphs of those functions is Jordan measurable as long as that set is bounded and the common domain of the two functions is Jordan measurable. Any finite union and intersection of Jordan measurable sets is Jordan measurable, as well as the set difference of any two Jordan measurable sets. A compact set is not necessarily Jordan measurable. For example, the fat Cantor set is not. Its inner Jordan measure vanishes, since its complement is dense; however, its outer Jordan measure does not vanish, since it cannot be less than (in fact, is equal to) its Lebesgue measure. Also, a bounded open set is not necessarily Jordan measurable.
For example, the complement of the fat Cantor set (within the interval) is not.
A bounded set is Jordan measurable if and only if its indicator function is Riemann-integrable, and the value of the integral is its Jordan measure.[1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Indicator_function
In mathematics, an indicator function or a characteristic function of a subset of a set is a function that maps elements of the subset to one, and all other elements to zero. That is, if A is a subset of some set X, then
{1}_{A}(x)=1 if  x∈ A, and
{1} _{A}(x)=0 otherwise, where {1} _{A} is a common notation for the indicator function. Other common notations are I_{A}, and χ_{A}.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%B8%AC%E5%BA%A6
ジョルダン測度

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/546

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